[손으로 푸는 통계 ver1.0] 51. 표본분산의 분포 유도 (16) 정의역의 확장

 

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아래 보이시는 감마함수 무한곱형에서 자연수 n을 실수 x로 확장하기 직전입니다.

 

$$
n!=\prod_{m=1}^{\infty }\frac{1}{\left ( 1+\frac{n}{m} \right )}\cdot \left ( 1+\frac{1}{m} \right )^{n}\
$$

 

이를 정의역 확장이라고 하는데요. 매끄러운 이해를 위해, 우리가 이미 경험한 정의역 확장을 하나 예로 들려고 합니다. 

 

아래 등식이 성립한다는 것은 고등학교 수학에서 배우는 내용입니다.

 

$1+2+3+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}$

 

자연수의 합, 혹은 등차수열의 합 정도로 이해하고 넘어가는데요. 이 수식에는 엄청난 수학적 발견의 실마리가 숨겨져 있습니다. 좌변에서는 결코 할 수 없는 일을 우변에서는 할 수 있는데요. 바로 정의역 확장입니다. 정의역은 영어로 도메인(domain)이라고 부릅니다. 도메인이라는 말은 여러 분야에서 많이 사용되는데 도메인의 일반적인 의미는 '영역' '범위' 입니다. 수학에서 사용될때는 '정의역'이구요. 

 

위 수식은 '자연수' 에서 정의된 식입니다. 우변의 식을 f(n)이라는 함수로 바꿔봅시다.

 

$f(n)=\frac{n(n+1)}{2}$

 

합으로 나열된 형태에서는 자연수 밖에 넣을 수 없지만, 우변의 형태가 되면 n 자리에 자연수가 아닌 실수를 넣어도 값이 정의됩니다. 몇몇 분들은 이 함수에 자연수가 아닌 다른 값을 넣으면 어떻게 될까 의문을 가져보신적이 있으실겁니다. 

 

예를들어 1/2을 넣어봅시다. 

 

$f\left ( \frac{1}{2} \right )=\frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2}+1)}{2}=\frac{3}{8}$

 

의미는 무엇일까요? f(n)이 n번째 자연수까지의 합이었으니까, 억지로 의미를 부여하면 f(1/2)는 1/2번째 자연수까지의 합입니다. 이 함수에 n 대신 실수 x를 넣어서 연속함수로 만들 수가 있습니다. 

$f(x)=\frac{x(x+1)}{2}$

 

이 함수는 x가 자연수일 때는 1부터 자연수 x까지의 합을 함수값으로 갖는 연속함수입니다. 그래프를 그리면 아래와 같습니다. 

 

정의역의 확장은 스위스의 수학자 오일러(1707년)가 팩토리얼함수를 그 유명한 감마함수로 확장하는데도 사용됩니다. 감마함수는 팩토리얼을 실수로 확장하면 어떻게 될까하는 의문에서 출발했습니다. 다음시간에 오일러가 유도한 팩토리얼 수식에 정의역확장을 적용해봅시다.