[손으로 푸는 통계 ver1.0] 48. 표본분산의 분포 유도 (13) 감마함수의 등장 (보완)

 

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지난시간에 설명한 감마함수의 등장과정이 매끄럽지 않은 것 같아서 한번 더 설명하려고 합니다. 매끄럽지 않은 부분부터 말씀드리겠습니다. 

 

f(n)=(n-1)! 에서 도출할 수 있는 식은 아래와 같습니다.

 

f(n)=(n-1)f(n-1)

 

이 식을 실수 x로 확장한다는 부분입니다. 

 

f(x)=(x-1)f(x-1)

 

위 성질이 결국 만족하게 되기는 하지만, n을 갑자기 x로 바꾸는 부분이 매끄럽지 않습니다.  

 

팩토리얼 함수 이후부터 다시 설명하겠습니다. 팩토리얼 함수는 아래와 같이 정의했었습니다. 

 

f(n)=(n-1)!

 

0과 양의정수에서 정의된 함수입니다. 이 함수를 실수의 영역으로 확장해야하는데요. 실수 영역으로 확장한다는 것의 의미를 이해해봅시다. 팩토리얼 함수를 그래프로 그려보면 아래와 같습니다. 

 

 

팩토리얼함수를 실수 영역으로 확장한다는 것은 위 그래프를 부드럽게 연결하는 함수를 찾는다는 것입니다.

 

이 함수를 f(x)로 놓는다면, 아래 조건을 만족하면 됩니다.

 

1) n이 자연수 일 때, f(n)=(n-1)!

2) f(n)=(n-1)! 로 찍은 점을 부드럽게 연결

 

이 함수를 오직 하나는 아닙니다. 오일러가 그 중 하나를 찾았고, 감마함수라고 이름붙였습니다. 이후에 덴마크 수학자 두 사람이 logarithmically convex 조건을 추가(링크)하고, 감마함수가 이 조건을 만족하는 유일한 함수라는 것을 증명합니다. 

 

다음 시간부터 이 함수를 함께 찾아봅시다. 오일러가 찾은 과정을 따라가볼 것입니다.