[손으로 푸는 통계 ver1.0] 45. 표본분산의 분포 유도 (10) 카이제곱분포 점화식 풀이

 

 

 

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지난시간까지 유도해본 n자유도 카이제곱분포의 분포함수는 아래와 같습니다. 

문제는 상수 $C_{n}$ 이었는데요. 규칙이 보이지 않았습니다.

점화식 형태로도 표현한 결과는 아래와 같습니다. 

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이번에는 우리가 유도한 분포함수를 점화식에 대입해보았습니다. 

아래와 같이 소거합시다. 

적분과 상관없는 항은 밖으로 꺼내겠습니다.

적분합시다. 

정리하면 아래와 같습니다. 

자유도가 n인 카이제곱분포의 상수 $C_{n}$ 은 아래와 같이 표현됩니다. 

 

우리가 풀 수 있는 형태의 점화식이 되었습니다. 점화식을 풀어보겠습니다. n 이 짝수인 경우와 홀수인 경우로 나뉩니다. 

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1) n이 홀수인 경우

 

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double factorial 이라는 기호가 있습니다. !! 인데요. factorial은 1씩 빼서 곱하는 반면, double factorial은 2씩 빼서 곱합니다. 위 식에 사용하기 알맞습니다. 적용해봅시다. 

 

$C_{1}$ 을 대입하면 아래와 같습니다. 

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2) n이 짝수인 경우

 

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더블팩토리얼을 적용하면 아래와 같습니다. 

$C_{2}$는 $\frac{1}{2}$ 이므로 아래와 같습니다. 

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정리해봅시다. 

 

n이 짝수인 경우 카이제곱분포

 

n이 홀수인 경우 카이제곱분포

 

이 두 함수를 하나로 통합할 수 있는 더 상위개념의 함수를 찾아야 합니다.