[손으로 푸는 통계 ver1.0] 44. 표본분산의 분포 유도 (9) 1~5자유도 카이제곱분포에서 규칙찾기, 점화식 세우기

 

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이제 1,2,3,4,5 자유도 카이제곱 분포를 살펴보면서 규칙을 찾아봅시다. 

지수함수와 멱함수에서는 규칙이 보입니다. 지수함수는 같은 형태가 유지되고 있고, 멱함수의 지수부분은 1/2 씩 더해지고 있습니다. 이 규칙이 계속 유지될 것이라는 것도 쉽게 보일 수 있습니다. 예를들어 5자유도 분포를 구할 때, 우리는 2자유도와 3자유도를 결합합니다. 

지수항수는 항상 같은 형태로 남겨지고, 멱함수는 2자유도 전의 멱함수가 적분됩니다. 따라서 2자유도 증가할 때마다 차수가 1 증가하는 것이므로, 1자유도 증가시 차수가 1/2 증가하게 됩니다. 

따라서 n자유도 카이제곱 분포는 아래와 같은 모양일 것으로 생각됩니다. 확률변수를 X로 놓겠습니다. 

문제는 상수 $C_{n}$ 입니다. 규칙이 보이지 않았습니다.

점화식 형태로도 표현해보았습니다.

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현재는 이 점화식 푸는 것을 시도하면서 동시에 다른 방법도 찾아보는 중입니다.