[손으로 푸는 통계 ver1.0] 42. 표본분산의 분포 유도 (7) 2자유도 카이제곱분포 유도

 

 

 

 

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서로 독립인 두 확률변수 X와 Y가 있다고 합시다. 

두 확률변수는 0부터 무한대 사이의 정수를 갖는다고 합시다. 

X가 발생할 확률은 P(X=x), Y가 발생할 확률은 P(Y=y)입니다. X와 Y를 합한 확률변수를 Z라고 놓겠습니다. 

표기를 P(X), P(Y)로 하지 않는 이유는 혼동을 피하기 위함입니다. x가 1일 확률과 y가 1일 확률이 다를 수도 있는데 P(1), P(1) 로 똑같이 표기되기 때문입니다. P(X=1), P(Y=1)이라고 표기하면 오해가 생기지 않습니다. 

Z=X+Y

이때 Z가 발생할 확률은 어떻게 정의할 수 있을까요? Z가 발생하는 모든 X,Y 조합을 찾아봅시다. X 값에는 0부터 올 수 있으므로 아래와 같습니다. 

(0,z)
(1,z-1)
(2,z-2)
...
(z,0)

각각의 확률은 아래와 같습니다. 

P(X=0)P(Y=z)
P(X=1)P(Y=z-1)
P(X=2)P(Y=z-2)
...
P(X=z)P(Y=0)

Z가 발생할 확률은 위 확률을 전부 더해주면 됩니다. 

 

위 표기법이 복잡하신 분들은 아래와 같이 쓸 수도 있습니다. 

 

위 수식을 확률밀도함수에 적용하면 아래와 같습니다 . 아래 형태의 적분을 컨볼루션적분 이라고 부릅니다. 

 

이번에는 X와 Y를 자유도가 1인 카이제곱분포를 따르는 확률변수라고 놓고 위 수식에 적용하겠습니다. X와 Y는 서로 독립이라고 가정합시다. X와 Y의 분포함수는 아래와 같습니다. 

 

 

Z=X+Y 이므로, 자유도가 2인 카이제곱분포를 따르는 확률변수가 됩니다. 

아래와 같이 변형합시다. 

e^(x/2)를 소거합시다.  

 

적분상수와 무관한 항들은 밖으로 꺼냅시다. 

아래와 같이 계산이 가능합니다. 

여기서 z를 적분 밖으로 꺼내는 것에 대해 의문이 있는 분들이 계실 수 있습니다. z가 x에 대해 표현되는 식인데 어떻게 꺼내냐는 의문일 수 있습니다. z가 고정된 상태로 계산하는 것이라 가능합니다. x에 따라 z가 변하지 않습니다. z가 먼저 결정된 상태로 계산되는 식입니다. 의문이 드시는 분들은 z에 어떤 숫자를 하나 대입해보시면 됩니다. z에 3을 넣어서 fz(3)을 구하는 상황을 생각해보면 받아들여지실 것입니다. 

적분부분만 따로 계산을 진행하겠습니다. 

치환적분을 하겠습니다. 아래와 같이 치환합시다. 

양변을 x로 미분합시다. 

아래와 같이 변형합시다. 

적분식에 대입합시다. 적분구간은 루트z 까지입니다. 

x는 u제곱입니다. 바꿔줍니다. 

루트형태로 표현합시다. 

아래와 같이 한번더 치환합시다. 여기서 z는 상수입니다. u와 theta가 변수입니다. 

적분구간은 0~π/2로 바뀝니다. u로 양변을 미분하겠습니다.

아래와 같이 변형하겠습니다. 

적분하던 식에 대입합시다. 

분모의 루트항을 아래와 같이 묶어줍니다. 

사인제곱과 코사인제곱의 합은 1이므로 아래와 같이 변형됩니다. 

 

소거해줍니다. 

 

적분 결과는 아래와 같습니다. 

f(z)를 구하던 식을 다시 써봅시다. 

적분수식에 우리가 구한 결과를 대입합시다. 

정리하면 아래와 같습니다. 자유도가 2인 카이제곱분포를 유도한 것입니다. 

자유도가 1인 카이제곱분포와 비교해봅시다. 

x항이 사라지고, 루트2파이가 2로 바뀌었습니다. 규칙이 보이지 않아서, 몇개 더 유도해봐야할 것 같습니다. 다음시간에는 자유도가 3인 카이제곱분포를 유도해봅시다. 

 

<참고링크>

https://www.chegg.com/homework-help/questions-and-answers/need-pdf-z-z-x-y-question-z-x-y-q22880001

https://www.dartmouth.edu/~chance/teaching_aids/books_articles/probability_book/Chapter7.pdf

http://www.ams.sunysb.edu/~jsbm/courses/311/examples-joint-pdfs-sol.pdf

https://math.stackexchange.com/questions/2516718/finding-the-convolution-of-two-chi-squared-variables