[손으로 푸는 통계 ver1.0] 39. 표본분산의 분포 유도 (4) 자유도가 1인 카이제곱분포의 평균과 분산

 

 

---

36~38강에서 표본분산의 분포는 표준정규분포를 따르는 확률변수의 제곱을 n-1개 더한 분포라는 것을 유도했습니다. 

표준정규분포의 제곱의 합의 분포를 단계적으로 유도하기 위해 표준정규분포 1개의 제곱의 분포를 유도했습니다. 이는 자유도 1인 카이제곱분포였습니다.

 

자유도가 1인 카이제곱분포를 표본분산의 분포로 이용하는 방법을 알아보기 전에 자유도가 1인 카이제곱분포의 평균과 분산을 구해보겠습니다. 

먼저 평균을 유도해봅시다.

---

평균

평균은 아래와 같이 정의됩니다. 

아래와 같이 계산할 수 있습니다. 

부분적분을 합시다. e^(y/2)을 적분할 것입니다. 

빨간항은 0이 됩니다. 

2를 약분해줍시다. 

적분기호 안은 자유도가 1인 카이제곱분포의 확률밀도함수입니다. 전체구간으로 적분하면 값은 1입니다. 따라서 평균은 1이 됩니다. 

이번에는 분산을 유도해봅시다. 

---

분산

분산은 아래와 같이 정의됩니다. 

평균은 위에서 구했으므로, 제곱의 평균만 구하면 됩니다. 제곱의 평균은 아래와 같이 정의됩니다. 

아래와 같이 계산할 수 있습니다. 

부분적분을 적용합시다. e^(y/2)을 적분할 것입니다. 

빨간 부분은 0이 됩니다.

부분적분을 한번 더 적용합시다. e^(y/2)을 적분할 것입니다. 

빨간 부분은 0이 됩니다.

숫자들은 약분하고 밖으로 꺼냅니다. 

적분기호 안은 자유도가 1인 카이제곱분포의 확률밀도함수입니다. 전체구간으로 적분하면 값은 1입니다. 

결과를 아래 식에 대입합시다. 

---

요약

확률변수 Y가 자유도1인 카이제곱분포를 따를 때 평균과 분산은 아래와 같습니다.

E(X)=1
V(X)=2