[손으로 푸는 통계 ver1.0] 37. 표본분산의 분포 유도 (2) 표준화

 

 

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표본분산의 분포를 계속해서 유도해봅시다. 아래는 표본분산의 계산식입니다. 

지난시간에 우리는 위 수식을 아래와 같이 변형하였습니다. 

 

 

우변은 정규분포를 따르는 모집단의 확률변수의 제곱 n개 에서, 정규분포를 따르는 표본평균의 제곱 n개를 뺀 형태입니다. 

정규분포보다 표준정규분포가 다루기 쉬우므로, 변형해주겠습니다. 표준화를 할 것입니다. 모집단의 확률변수들은 평균이 모평균 μ 이고 분산이 모분산 σ² 입니다. 표본평균의 평균은 모평균 μ이고, 분산은 모분산을 n으로 나눈 값입니다. 

아래와 같이 완전제곱식을 만들게해주는 항을 더하고 빼줍시다. 

아래와 같이 꺼내줍시다. 

 

완전제곱식으로 만들어줍시다. 

 

위 식의 파란식들도 완전제곱식으로 만들기 위해 아래와 같이 더하고 뻅시다. 

완전제곱식으로 묶고, 소거할 수 있는 항은 소거합시다. 

 

위 식의 파란부분을 아래와 같이 변형합니다. n을 곱하고 나눠줍니다. 

위 식의 파란부분은 표본평균이므로, 아래와 같이 변형할수 있습니다. 

 

아래와 같이 소거가 가능합니다. 

이제 양변을 모집단의 분산으로 나눠줍시다. 

아래와 같이 제곱식 안으로 넣어주겠습니다. 

이제 우변을 다시 해석해봅시다. 표준정규분포를 따르는 변수의 제곱 n개의 합에서 표준정규분포를 따르는 변수의 제곱 하나를 뺀 것입니다. 따라서 표준정규분포를 따르는 변수의 제곱 n-1개가 됩니다. (20200712, 논리적 비약 발견함. 결과적으로 n-1자유도인건 맞긴 한데. 확률변수는 같다고 서로 소거할 수 있는게 아님. 보완 필요. 카이제곱분포에서만 가능한 것일듯. )

이제 무엇을 하면 될지 알게 되었습니다. 아래 단계를 거칠 것입니다. 

1) 표준정규분포를 따르는 변수의 제곱의 분포 구하기 (자유도 1인 카이제곱분포)
2) 표준정규분포를 따르는 두 변수의 제곱의 합의 분포 구하기 (자유도 2인 카이제곱분포)
3) 표준정규분포를 따르는 k개 변수의 제곱의 합의 분포 구하기 (자유도 k인 카이제곱분포)

3번에서 구한 분포를 이용하면 표본분산의 분포를 구할 수 있습니다.