[손으로 푸는 통계 ver1.0] 38. 표본분산의 분포 유도 (3) 자유도가 1인 카이제곱분포 유도

 

 

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36강과 37강에서 아래 수식을 유도했습니다. 

 

우변의 각 항은 표준정규분포를 따르는 변수의 제곱입니다. 따라서 아래와 같이 바꿔쓸 수 있습니다. 

 

<- 이렇게 쓰면 안됩니다. 아래처럼 구분해주어야 합니다. 

우변의 분포를 구하기 위해서 가장 간단한 형태부터 시작합시다. 표준정규분포를 따르는 확률변수의 제곱의 분포를 구하는 것입니다. 

 

표준정규분포를 따르는 변수의 제곱을 Y라고 놓겠습니다.

우리는 Y의 분포를 구하면 됩니다. Y의 분포를 구하기 위해 Y의 누적분포함수(CDF)를 정의해봅시다. 누적분포를 정의하고, 미분을 통해 확률밀도함수를 구할 것입니다. 

X제곱이 Y이므로, 아래와 같이 변형합시다. 

부등식을 아래와 같이 변형할 수 있습니다.

X는 표준정규분포를 따르므로, 아래와 같이 적분식으로 나타낼 수 있습니다. 

적분과 무관한 상수는 밖으로 꺼내겠습니다. 

대칭함수이므로 아래와 같이 변형할 수 있습니다. 

적분식 안에 있는 함수를 g(x)로 놓겠습니다. 

g(x)의 부정적분을 G(x)+c라고 놓으면 아래 등식이 성립합니다. 

 

위에서 계산하던 적분식을 G(x)을 이용하여 표현하면 아래와 같습니다. 

CDF(누적분포함수)는 PDF(확률밀도함수)를 적분하여 구합니다. 

따라서 PDF는 CDF를 미분하여 구할 수 있습니다. 

CDF(y)를 미분하여 PDF(y)를 구하겠습니다. PDF(y)가 우리가 오늘 구하려고 하는 y의 분포함수입니다. 

 

G(0)을 미분하면 0입니다. 

루트 y를 u로 치환하겠습니다. 

체인룰을 적용합시다. 

G(u)를 u로 미분한 항은 g(u)가 됩니다. 

u는 루트y 이므로, 아래와 같이 변형됩니다. 

함수 g를 알고 있으므로 루트y를 대입하고, 가장 오른쪽 항은 미분해줍니다. 

정리하면 아래와 같습니다. 

자유도가 1차인 카이제곱분포 함수를 유도한 것입니다. 

다음시간에는 자유도가 1인 카이제곱분포의 그래프를 그려보고, 표본분산의 관점에서 어떻게 해석할지 알아보도록 하겠습니다.