[손으로 푸는 통계 ver1.0] 40. 표본분산의 분포 유도 (5) 크기가 2인 표본분산의 분포

 

 

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표본분산의 분포를 구하기 위해 아래 정의에서 출발했습니다. 

 

위 정의를 이용해서 아래 수식을 유도했습니다. 

우변은 자유도가 n-1인 카이제곱 분포를 따르는데요. 우리는 아직 자유도가 1인 카이제곱분포만 유도한 상태입니다. 

자유도가 1인 카이제곱분포는 n이 2일 때를 의미합니다. n이 2라는 것은 표본의 크기가 2라는 말입니다. 

위 식에서 n에 2를 넣으면 아래와 같은 식이 됩니다. 우변이 자유도가 1인 카이제곱분포입니다. 

위 식을 Y라고 놓고 분포함수를 유도했었습니다. 

우리가 유도한 Y의 분포함수는 아래와 같습니다.

그래프를 그려봅시다. 손으로 그리기 어렵기 때문에 R을 이용하여 그렸습니다. 0에 가까울 수록 발생확률이 높고, 0보다 커질수록 발생확률이 작아지는 형태의 분포입니다. 

 

 

x=seq(0,4,0.01)
y=dchisq(x, 1, ncp = 0, log = FALSE)
plot(x,y,type='l',ann=FALSE)
title(main="Chi-squared distribution 1D.O.F",xlab="y",ylab="f(y)",
      cex.lab=1.2,cex.main=1.6)
box("figure", col="gray")  

 

이제 앞에 붙은 모분산을 어떻게 처리할지 생각해봅시다. 

 

s² 만의 분포를 얻기 위함입니다. 상수가 곱해져 있는가의 차이이므로, 개형은 비슷할 것입니다. Y의 분포함수를 아래와 같이 변형합니다. 

변수는 s제곱이므로 g함수를 아래와 같이 놓겠습니다. 

표본분산의 분포를 구했습니다. 그려봅시다. 

우리는 z검정을 할 때 표본분산을 모분산 대신 사용할 수 있느냐는 의문에서 표본분산의 분포를 유도한 것입니다. 위 그래프를 보면 크기가 2인 표본분산의 경우 모분산 대신 사용할 수 있다는 근거가 전혀 없어보입니다. 

표본의 크기가 커지면 달라질까요? 이어지는 강의들에서 알아보도록 하겠습니다.