[손으로 푸는 통계 ver1.0] 43. 표본분산의 분포 유도 (8) 3,4,5자유도 카이제곱분포 유도

 

 

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지난시간까지 유도한 1,2 자유도의 카이제곱분포는 아래와 같습니다.

 

변수는 X에 아래첨자에 자유도가 추가된 형태로 놓겠습니다. 

오늘은 3,4,5 자유도의 카이제곱분포를 유도하고 규칙을 찾아보도록 하겠습니다. 먼저 3자유도 카이제곱분포입니다.

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3자유도 카이제곱분포 유도

1,2 자유도 카이제곱분포에 컨볼루션 적분을 적용하면 아래와 같은 수식이 됩니다. 

 

 

분포함수를 대입하면 아래와 같습니다. 

 

아래와 같이 지수형태의 식을 둘로 분리합시다. 

 

$ e^{-\frac{x_{1}}{2}}$ 를 소거합시다. 

 

 

적분변수와 무관한 항은 밖으로 꺼냅시다. 

 

적분합시다. 

계산하면 아래와 같습니다. 

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4자유도 카이제곱분포 유도

이번에는 4자유도 카이제곱분포를 유도해봅시다. 2자유도 카이제곱분포 함수가 가장 간단하기 때문에 이 함수를 이용해야 유도가 쉽습니다. 따라서 2자유도 카이제곱분포 2개를 컨볼루션 적분하여 4자유도 카이제곱분포를 유도하겠습니다. 

 

분포함수를 대입합시다. 

아래와 같이 지수형태의 식을 둘로 분리합시다. 

 

$e^{-\frac{x_{2}}{2}}$  를 소거합시다. 

 

 

적분변수와 무관한 항은 밖으로 꺼냅시다. 

 

 

적분합시다. 

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5자유도 카이제곱분포 유도

이번에는 5자유도 카이제곱분포를 유도해봅시다. 2자유도 카이제곱분포와 3자유도분포를 컨볼루션 적분하여 유도하겠습니다. 

 

분포함수를 대입합시다. 

아래와 같이 지수형태의 식을 둘로 분리합시다. 

$e^{-\frac{x_{3}}{2}}$ 를 소거합시다. 

적분변수와 무관한 항은 밖으로 꺼냅시다. 

 

적분합시다. 

계산하면 아래와 같습니다. 

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이번강의까지 유도한 카이제곱분포는 1,2,3,4,5 자유도 카이제곱 분포입니다. 

 

다음 시간에는 일반화하기 위한 규칙을 한번 찾아보도록 하겠습니다.