반응형 이항분포12 [확률과통계 기초] 3-16. 이항분포 예시 지난시간에 이항분포가 무엇인지 배웠습니다. 이항분포는 베르누이 시행을 n번 반복했을 때 성공이 나온 횟수인 x를 확률변수로 하는 분포이고, 분포함수는 아래와 같습니다. $p(x)=_nC_x \ p^x(1-p)^{n-x}$ 이번시간에는 이항분포의 예시를 알아봅시다. 어떤 농구선수가 있고 자유투 성공률이 70% 라고 합시다. 이 농구선수가 자유투를 5번 던져서 성공한 횟수를 X라고 놓겠습니다. X의 확률분포가 이항분포를 따릅니다. X의 확률분포를 구해보면 아래와 같습니다. $p(x)=_5C_x \ (0.7)^x(0.3)^{5-x}$ 자유투는 0번부터 5번까지 성공할 수 있습니다. 각각의 확률을 표로 나타내보면 아래와 같습니다. 값을 계산해보면 아래와 같습니다. 그.. 2024. 2. 23. [확률과통계 기초] 3-14. 베르누이분포에서 이항분포로 시행의 결과가 성공과 실패 두가지인 시행을 베르누이 시행이라고 부릅니다. 예를 들면 동전던지기가 있습니다. 동전던지기 시행의 결과는 앞면과 뒷면 두가지입니다. 앞,뒤 앞면을 성공, 뒷면을 실패로 놓는다면 동전던지기는 베르누이시행입니다. 앞(성공),뒤(실패) 어떤 베르누이 시행의 성공 확률이 p이고 실패확률이 1-p 이라고 합시다. 이 베르누이 시행을 n번 반복한다고 합시다. 각 시행은 독립시행이라고 가정하겠습니다(독립시행이 무엇인지는 2-9강에서 배웠습니다). 베르누이 시행을 n번 반복했을 때 성공이 x번 나올 확률은 아래와 같습니다. $_nC_x \ p^x(1-p)^{n-x}$ $_nC_x$는 n번 중 성공이 x번 나오는 경우의 수 입니다. $p^x(1-p)^{n-x}$은 성공이 x번 나오고, 실패는 .. 2024. 2. 21. [확률과통계 기초] 3-12. 이항분포에서 '이항' 이 무슨 뜻일까 이번 시간부터 이항분포를 공부할 것입니다. 확률분포는 이산확률분포와 연속확률분포로 나뉘는데, 이항분포는 이산확률분포에 속합니다. '이항'이라는 말을 들으셨을 때 어떤 것이 떠오르셨나요? 방정식이 떠오르셨을 겁니다. 방정식에서 항을 옮기는 것을 '이항'이라고 불렀으니까요. 이항분포의 '이항'은 방정식의 '이항'과 다른 의미입니다. 방정식에서의 이항은 영어로 transposition 이고, 한자로 移項 인데 이동할 (이), 항 (항) 입니다. 이항분포에서 이항은 영어로 binomial 이고, 한자로 二項 입니다. 두개의 항이라는 뜻입니다. 따라서 이항분포를 직역하면 '두개의 항으로 된 분포'라는 뜻입니다. 두개의 항으로 된 분포라는게 어떤 의미인지는 다음시간 부터 알아봅시다. 2023. 12. 27. 이항분포, 정규분포, 푸아송분포의 관계 이항분포를 정규분포로 근사할 때도 n을 무한대로 보내고, 푸아송분포로 보낼 때도 n을 무한대로 보내니 혼란이 오시는 분들이 계실겁니다. 오늘은 이 문제를 해결해봅시다. 이항분포, 푸아송분포, 정규분포 함수는 아래와 같습니다. 이항분포 : $f(x)=\binom{n}{x} p^{x}(1-p)^{n-x}$ 푸아송분포 : $f(x)=\frac{\lambda^{x}e^{-\lambda}}{x!}$ 정규분포 : $f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left ( \frac{x-\mu}{\sigma} \right )^{2}}$ 이항분포를 정규분포로 근사할 때는 p를 고정한 상태로 n을 무한대로 보냅니다. 예를 들면 앞면이 나오는 확률(p)는 고정되고, 동전을 던지는.. 2021. 11. 19. [이항분포 한눈에] 정의, 분포함수,평균,분산,첨도,왜도,적률생성함수,특성함수 이항분포함수에 대한 통계량들을 표로 요약한 내용입니다. 정의 베르누이 시행을 n번 했을 때, 사건 발생 횟수 X를 확률변수로 하는 확률분포 분포함수 $ \binom{n}{x}p^{x}(1-p)^{n-x} $ 누적분포함수 $\sum_{k=1}^{\left \lfloor x \right \rfloor}\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k} $ 평균 $np$ 분산 $np(1-p)$ 왜도 $\frac{1-2p}{\sqrt{np(1-p)}}$ 첨도 $\frac{1-6p(1-p)}{np(1-p)}$ 적률생성함수 $\left (1-p+pe^{t} \right )^{n}$ 특성함수 $\left (1-p+pe^{it} \right )^{n}$ *시행의 결과가 오직 두가지 뿐인 시행을 '베르누이 시행'이라고 .. 2021. 10. 27. 이항분포를 따르는 두 확률변수의 합의 분포 이항분포를 따르는 두 확률변수의 합의 분포 이항분포를 따르는 두 확률변수 X와 Y가 있다고 합시다. 각 확률변수가 따르는 이항분포는 아래와 같습니다. 이때 두 확률변수의 합은 어떤 분포를 따를까요?? 각 확률분포함수를 아래와 같이 놓겠습니다. 발생확률이 달라지는 경우 두 확률변수의 합의 분포가 달라집니다. 지금은 발생확률이 동일하다고 놓고 진행하고, 발생확률이 다른 경우는 뒤에서 다시 이야기하겠습니다. 유도방법은 두가지가 있습니다. 한 방법은 간단하지만 직관적으로는 받아들이기 어려운 방법이고, 다른 하나는 복잡하지만 직관적으로 받아들일 수 있는 방법입니다. 두 방법 모두 알아봅시다. 1) 특성함수 이용 먼저 특성함수를 이용하여 유도하겠습니다. 이번 글에서는 특성함수를 바로 적용할 것입니다. 특성함수에 대.. 2020. 4. 17. [손으로 푸는 확률분포] 푸아송분포 (2-1) 이항분포로 부터 유도 (2-1) 이항분포로 부터 유도 이항분포 함수는 아래와 같습니다. 푸아송분포는 n과 p를 각각 다루지 않고, 이항분포의 평균인 np를 다룹니다. 이 값을 λ(람다)라고 놓습니다. 아래와 같이 변형합시다. 이항분포 수식의 p 자리에 위 식을 넣겠습니다. 조합 식을 팩토리얼로 전개합시다. 위 식의 빨간항을 아래와 같이 나눠서 써줍시다. 팩토리얼 식을 아래와 같이 풀어 써줍니다. 파란 부분끼리 약분해줍니다. x팩토리얼과, n의 x승의 자리를 바꿔줍니다. 위 식의 파란 부분을 아래와 같이 변형합시다 . 이번에는 아래 식을 봅시다. 몇개의 인수가 곱해져있는 걸가요? n!를 (n-x)!로 나눈 것인데, n!의 인수는 n개 입니다. (n-x)!의 인수는 (n-x)개입니다. n개 에서 (n-x)개를 약분하면, x개가 .. 2019. 10. 28. [손으로 푸는 확률분포] 이항분포 (3~5) 유도, 통계량, 그래프 3) 일반화(유도) 어떤 독립시행에서 특정 사건이 발생할 확률은 p입니다. 이 시행을 n번 했을 때, 사건이 발생한 횟수를 x라고 합시다. 이때의 확률분포가 이항분포이고 아래와 같습니다. 시행횟수가 n, 사건 발생활률이 p인 이항분포를 기호로 아래와 같이 나타냅니다. B는 binomial의 약자입니다. 4-1) 통계량 - 평균 이항분포의 평균은 아래와 같이 정의됩니다. x가 0일때는 값이 0이므로 아래와 같이 시그마의 시작을 1으로 바꿀 수 있습니다. 아래와 같이 변형합시다. p와 n은 시그마에 독립적이므로 아래와 같이 꺼내줄 수 있습니다. x는 약분됩니다. 이제 치환을 하겠습니다. n-1을 m로, x-1을 r로 치환합시다. 이번에는 n-1에서 x-1을 뺍시다. n-x가 나오고, 이 값은 m-r과 같습니.. 2019. 7. 4. [손으로 푸는 확률분포] 이항분포 (1~2) 소개, 예시 1) 소개 베르누이 시행을 n번 했습니다. 각각의 시행은 독립시행입니다. 각 시행이 독립이라는 것은 베르누이 시행의 조건 중 하나입니다. 따라서 베르누이시행이라고 말하면 독립이라고 따로 언급할 필요는 없습니다. 이 시행에서 사건이 발생할 확률을 p라고 하고, 사건이 발행한 횟수를 확률변수 x로 할 때의 분포가 이항분포입니다. 2) 예시 어떤 농구선수의 자유투 성공률은 80%입니다. 공을 10번 던질 때, 자유투의 성공 횟수와 그 확률을 구해하면 아래와 같습니다. 자유투 성공횟수를 확률변수 x로 놓겠습니다. 예를 들어 자유투가 두번 성공할 확률을 구하면 아래와 같습니다. 2019. 7. 4. [손으로 푸는 통계] 19. 정규분포함수 유도하기 (방법2. 이항분포 이용 2/2) 이항분포를 이용하여 정규분포를 유도하고 있습니다. 지난시간에 유도한 내용을 간단히 요약합시다. 이항분포를 $f(r)$에서 $g(r)=\ln f(r)$ 로 놓고 $g(r)$을 구하였습니다. 이를 1번 식이라고 하였습니다. $\begin{align} g(r)&=n\ln n-r\ln r- (n-r)\ln (n-r) \\ &+\frac{1}{2}\ln( n)-\frac{1}{2}\ln(r)-\frac{1}{2}\ln(2\pi ) -\frac{1}{2}\ln((n-r)) \\ &+r\ln p +(n-r)\ln q \end{align}$ (1번식) $g(r)$의 미분을 구했습니다. 2번 식이라고 하였습니다. $\begin{align} g'(r)&=-\ln r+\ln (n-r) \\ &-\frac{1}{2r} -\f.. 2018. 4. 12. [손으로 푸는 통계] 18. 정규분포함수 유도하기 (방법2. 이항분포 이용 1/2) 정규분포 함수를 유도하는 방법은 두가지가 있고 아래와 같습니다. 1) 과녁 맞추기를 이용한 유도 2) 이항분포를 이용한 유도 15,16강에서 1번 방법으로 정규분포를 유도하였습니다. 이번 강의부터 2번 방법으로 정규분포를 유도하겠습니다. 내용이 많아서 이번강의와 다음강의 둘로 나눠서 설명하겠습니다. 이항분포를 정규분포로 근사시키는 방법을 통해 정규분포를 유도하겠습니다. 이항분포 $B(n,p)$의 확률질량함수는 아래와 같습니다. $f(r)=_{n}C_{r}p^rq^{n-r}$ 확률변수를 r로 놓았습니다. 위 식에서 조합으로 표현된 부분을 팩토리얼 형태로 바꿔줍시다. $f(r)=\frac{n!}{r!(n-r)!}p^rq^{n-r}$ 양변에 자연로그를 취해줍니다. $\ln f(r)=\ln n!-\ln r! -.. 2018. 4. 12. [손으로 푸는 통계] 17. 이항분포의 평균과 분산 정규분포의 두가지 유도방법을 공부하고 있습니다. 두가지 유도방법은 아래와 같습니다. 1) 과녁 맞추기를 이용한 유도 2) 이항분포를 이용한 유도 지난시간까지 1번인 과녁 맞추기를 이용한 유도를 공부해보았습니다. 이제 2번인 이항분포를 이용하여 정규분포를 유도할 차례입니다. 이항분포를 이용하여 정규분포를 유도할 때 이항분포의 평균과 분산이 사용됩니다. 이번시간에는 이항분포의 평균과 분산을 구해봅시다. 이항분포는 $B(n,p)$ 라고 나타냅니다. B는 binomial distribution 의 첫글자를 딴 것입니다. n은 시행횟수이고 p는 특정 사건이 발생할 확률입니다. 동전던지기를 동전을 100번 던질 때 앞면이 나오는 횟수의 확률분포는 $B(100,0.5)$ 입니다. 이항분포 $B(n,p)$ 를 식으로 .. 2018. 4. 12. 이전 1 다음 반응형
