[손으로 푸는 확률분포] 푸아송분포 (2-1) 이항분포로 부터 유도

 

 

(2-1) 이항분포로 부터 유도

이항분포 함수는 아래와 같습니다.

 

 

푸아송분포는 n과 p를 각각 다루지 않고, 이항분포의 평균인 np를 다룹니다. 이 값을 λ(람다)라고 놓습니다. 

 

 

아래와 같이 변형합시다. 

 

 

이항분포 수식의 p 자리에 위 식을 넣겠습니다. 

 

 

조합 식을 팩토리얼로 전개합시다. 

 

 

위 식의 빨간항을 아래와 같이 나눠서 써줍시다. 

 

팩토리얼 식을 아래와 같이 풀어 써줍니다. 

 

 

파란 부분끼리 약분해줍니다. 

 

 

x팩토리얼과, n의 x승의 자리를 바꿔줍니다. 

 

 

위 식의 파란 부분을 아래와 같이 변형합시다 .

 

 

이번에는 아래 식을 봅시다. 

 

 

몇개의 인수가 곱해져있는 걸가요? n!를 (n-x)!로 나눈 것인데, n!의 인수는 n개 입니다. (n-x)!의 인수는 (n-x)개입니다. n개 에서 (n-x)개를 약분하면, x개가 남습니다. 따라서 우리가 전개하던 수식은 아래와 같이 변형됩니다. 

 

 

n을 무한대로 보냅시다. 

 

 

위 식의 빨강부분은 각 항이 모두 1로 수렴합니다. 파란색 항도 n이 무한대로 가니까 괄호 안이 1로 수렴하고, 1의 -x은 1이니까. 1이 됩니다. 문제는 초록항이죠. 

 

 

고등학교때, 자연상수 e를 배운 기억이 있을겁니다. 자연상수는 아래와 같이 정의했었습니다. 

 

 

따라서 우리가 유도하던 식을 아래와 같이 변형할 수 있습니다. 

 

 

아래와 같이 바꿔줍시다. 

 

대괄호 안이 e로 수렴합니다. 

 

 

따라서 푸아송분포는 아래와 같이 유도됩니다.