[손으로 푸는 확률분포] 푸아송분포 (1) 소개

 

 

(1) 소개

 

푸아송 분포에 붙은 '푸아송'은 사람의 이름입니다. 시메옹 푸아송의 이름을 따서 만들었습니다. 시메옹 푸아송이 발견했기 때문입니다. 

시메옹 푸아송은 1791년 프랑스에서 태어났습니다. 그의 직업은 공학자, 수학자, 물리학자였습니다. 기계나 재료를 전공한 분들이라면 반드시 들어보았을 푸아송비(poisson's ratio)도 이분이 만들었습니다. 에펠탑에 이름이 새겨진 72명의 과학자중 한명이라고 합니다. 

푸아송분포는 이항분포의 특수한 경우로 생각할 수 있습니다. 이항분포에서 시행횟수가 무수히 많아지고, 발생확률은 아주 작은 경우입니다. 

한가지 의문이 듭니다. 그럼 그냥 이항분포로 계산하면 되지, 왜 굳이 푸아송분포가 필요한거야? 

이 의문을 해결해봅시다. 거리를 돌아다니다가 길냥이를 본적이 있을 것입니다. 하루 종일 거리를 돌아다니다 마주치는 길냥이의 수를 확률변수로 놓고 확률분포를 구해봅시다. 

길냥이를 마주칠 확률을 p라고 놓고, 시행횟수를 n이라고 놓겠습니다. 확률을 구할 수 있나요? 무지 작다는 정도만 압니다. 시행횟수는 몇번인가요? 길양이를 마주치려는 시도는 걸어다니는 내내 매 순간입니다. 시행횟수를 정의할 수가 없어요. 확률이 있고, 시행이긴 한데 둘다 정의할 수가 없습니다. 그런데, 이건 정의할 수 있습니다. 

바로 np 입니다. np는 이항분포의 평균입니다. 우리의 상황에서 np는 아래와 같습니다. 

np = 하루 종일 돌아니며 길냥이를 마주치는 평균 횟수

이건 구할 수 있습니다. 이 값을 람다라고 놓읍시다. 

 

 

푸아송분포에서는 n과 p를 각각 다루지 않습니다. 그럴 수 없어서 나온 분포니까요. 푸아송분포에서는 람다를 다룹니다. 

아래는 푸아송분포의 다른 예들입니다. 

- 책에서 발견되는 오타 수
- 치킨을 먹다가 발견되는 머리카락 수
- 커피를 마시다가 실수로 쏟는 횟수
- 기계가 고장나는 횟수

다음시간에는 이 람다를 이용해서 푸아송분포를 유도해봅시다.