[손으로 푸는 확률분포] 음이항분포 (6) 이름의 유래

 

(6) 이름의 유래

 

음이항분포에서 '음'은 양수/음수에서의 '음'입니다. 영어로는 negative 입니다. 

왜 이런 이름이 붙었는지 알아봅시다. 

 

이항분포 함수는 아래와 같이 생겼습니다. 

 

 

앞에 조합형태로 곱해져 있는 값을 '이항계수'라고 부릅니다. 

한편 음이항분포 함수는 아래와 같은 모양입니다. 

 

 

음이항분포의 계수를 변형해보겠습니다. 먼저 펙토리얼 형태로 써봅시다. 

 

분자에서 (r-1)!를 약분하면 아래와 같습니다. 

 

 

우변 분자의 인수 개수가 x개입니다. 따라서 아래와 같이 변형할 수 있습니다. -1을 x개를 두번 곱해준 것과 같습니다. 결과적으로 1을 곱한 것이라 수식에 변화는 없습니다. 

 

 

이번에는 양변에 (-r-x)! 을 곱해줍시다. 음수의 팩토리얼이라 직관적으로 완전히 받아들여지지는 않지만, 수식계산을 할 정도의 감은 잡을 수 있습니다. 

 

 

분자는 (-r)! 가 됩니다. 

 

 

조합식의 형태로 표현하면 아래와 같습니다. 

 

 

직관적으로 완벽히 이해되지는 않지만, 조합의 계산식으로 역계산을 해보면 수학적으로 아무 문제가 없습니다. 원래의 음이항분포 함수식에 넣어봅시다. 아래에는 이항분포식을 써보겠습니다. 

 

<음이항분포>

 

<이항분포>

 

둘을 비교해보면 완벽히 동일한 형태는 아니지만, 음이항분포 함수식의 계수는 이항계수에 음수(-r)가 들어가있는 모양이라는 것을 알 수 있습니다. 

음이항분포라는 이름이 붙은 이유입니다.