[손으로 푸는 확률분포] 푸아송분포 (2-2) 미분방정식으로 유도 ② 유도

 

 

(2-2) 미분방정식으로 유도 ② 유도

 

지난시간에 세개의 식을 유도했습니다.

 

 

본격적으로 푸아송분포를 유도합시다. 길냥이 예제를 이어서 사용하겠습니다. 아래와 같은 확률을 정의해봅시다. 

 

 

이 확률은 t+Δt 라는 시간동안 길냥이를 x번 만날 확률입니다. 이 확률은 아래와 같이 다른 두 확률의 곱으로 표현할 수 있습니다. 

 

 

t+Δt 라는 시간동안 길냥이를 x번 만날 확률은 t라는 시간동안 x번 만나고 이후 Δt라는 시간동안 0번 만날 확률과 t라는 시간동안 x-1번 만나고 이후 Δt라는 시간동안 1번 만날 확률의 합과 같습니다. 

 

1,2번식(맨 위 빨간식)을 대입하여 정리합시다. 

 

 

전개하겠습니다. 

 

 

이항하여 아래와 같이 정리합시다. 

 

 

Δt로 양변을 나눠줍시다. 

 

 

Δt를 0으로 보내면 아래와 같은 미분방정식이 됩니다. 

 

 

이 미분방정식을 풀기 위해 한가지 처리를 할겁니다. 모든 항에 e^kt를 곱해주겠습니다. 

 

 

좌변은 아래와 같이 변형됩니다. 

 

 

좌변을 미분해보시면 위와 동일하다는 것을 알 수 있습니다. 

이제 양변을 적분합시다. 적분구간은 0부터 s라고 놓겠습니다. s도 어떤 시간을 의미합니다. 

 

 

먼저 좌변을 계산합시다. 

 

 

P(x;0)을 이항하고, e^ks로 나눠줍시다. 

 

k를 밖으로 꺼내줍시다. 

 

 

x에 1을 넣어봅시다. 

 

 

P(1:0)은 0이라는 시간동안 길냥이를 1번 만날 확률이므로, 0이 됩니다. 

 

 

P(0;t)는 1번식에 의해 아래와 같이 됩니다. 

 

 

두 항을 곱하면 1이 됩니다. 

 

 

따라서 아래와 같이 계산됩니다. 

 

 

이번에는 x에 2를 넣어봅시다. 

 

 

P(2:0)은 0이라는 시간동안 길냥이를 1번 만날 확률이므로, 0이 됩니다.

 

 

P(1;t)는 아래와 같습니다. P(1:s)의 T자리에 t를 넣으면 됩니다. 

 

 

위 식에 대입합시다.

 

 

정리합시다. 

 

 

적분합시다. 

 

 

이번에는 x에 3을 넣겠습니다. 

 

 

P(3:0)은 0이라는 시간동안 길냥이를 1번 만날 확률이므로, 0이 됩니다. 

 

 

P(2;t)는 아래와 같습니다. P(2:s)의 s자리에 t를 넣으면 됩니다. 

 

위 식에 대입합시다. 

 

 

정리합시다. 

 

 

적분합시다. 

 

 

일반화 시키면 아래와 같습니다.

 

 

우리가 알고 있는 푸아송 분포의 모양은 아래와 같습니다. 

 

다음 강의에서 푸아송 분포의 평균을 구하면서, ks가 λ 와 같다는 것을 유도하겠습니다.