[손으로 푸는 확률분포] 푸아송분포 (4) 평균

 

 

(4-1) 통계량 - 평균

 

푸아송분포는 λ 라고 가정하고 유도한 분포이므로, 평균은 당연히 λ 겠지만 확률분포의 평균을 구하는 수식으로도 구해보겠습니다.

푸아송분포 평균을 구할 때 테일러급수가 사용되므로, 먼저 테일러급수를 알아봅시다. f(x)의 테일러급수는 아래와 같습니다. 

 

 

a가 0일 때는 매클로린 급수라고 합니다. 

 

이번에는 e^x의 매클로린 급수를 구해봅시다. 

 

 

x 자리에 λ를 대입합시다. 

 

 

위 식을 증명에 사용할 것입니다. 1번식이라고 하겠습니다. 

이제 푸아송 분포의 평균을 구해봅시다. 푸아송 분포함수는 아래와 같습니다. 

 

 

푸아송분포의 평균은 아래와 같이 구합니다. 

 

 

x에 0을 넣으면 전체 항이 0이 되므로, x를 1부터 시작해도 됩니다. 

 

 

아래와 같이 변형합니다. 

 

 

x-1을 n으로 치환하겠습니다. 

 

빨간 식을 위에서 유도한 1식을 이용하여 변형하면 아래와 같습니다. 

 

 

계산하면 아래와 같습니다.