[손으로 푸는 확률분포] 푸아송분포 (2-3) 두 증명 결과가 같은 이유

 

(2-3) 두 증명 결과가 같은 이유

 

두가지 방법으로 푸아송분포를 유도했습니다. 이항분포를 이용하여 유도한 결과는 아래와 같습니다. 

 

 

미분방정식을 세워서 유도한 결과는 아래와 같습니다. 

 

 

λ 와 ks를 비교할겁니다. 의미가 같다는 것을 보이겠습니다. λ는 이항분포 B(n,p)의 평균입니다. 어떤 시간 동안의 시행횟수를 n, 사건 발생확률을 p라고 놓았을 때의 평균입니다. 

이번에는 ks를 봅시다. s는 어떤 단위 시간을 의미합니다. 길냥이 예제에서는 '하루'라는 시간입니다. 시간 s 안에 Δt 라는 '사건이 최대 1번 일어나는 짧은 시간'을 잡은 것입니다. Δt 동안 사건이 1번 발생할 확률을 아래와 같이 정의했었습니다. 

 

 

위 식을 k에 대해 정리하면 아래와 같습니다. 

 

 

양변에 s를 곱합시다. 

 

 

전체시간 s를 사건이 1번 발생가능한 시간 Δt으로 나눈 것은 '시행횟수'라고 볼 수 있습니다. 사건이 1번 발생할 수 있는 시행을 총 몇번 한것인지 구한 것이니까요. 또 확률 P(1;Δt)는 사건이 1번 발생할 확률입니다. 따라서 s/Δt 는 n과 같고, P(1;Δt)는 와 같으므로, ks는 np와 같습니다. 

$ks=np=λ$

 

따라서 아래 두 식은 본질적으로 같은 식입니다.