[손으로 푸는 확률분포] 푸아송분포 (2-2) 미분방정식으로 유도 ① 준비

 

 

(2-2) 미분방정식으로 유도 ① 준비

지난시간에는 이산확률분포를 이용하여 포아송분포를 유도했는데요. 이번에는 미분방정식을 세워서 포아송분포를 유도해보겠습니다. 

푸아송분포 첫번째 시간에 소개한 예시를 떠올려봅시다. 24시간 동안 길냥이를 만날 확률분포를 포아송분포의 예로 들었습니다. 

길냥이를 만나는 사건이 최대 1번 일어날 수 있을 만큼 작은 시간을 Δt 라고 놓읍시다. Δt 라는 시간 동안 길냥이를 만날 사건이 1번 일어날 확률을 아래와 같이 놓겠습니다. 

 

 

이 확률은 Δt에 비례할 것입니다. Δt가 길 수록 길냥이를 만날 확률이 높아질 것이기 때문입니다. 따라서 아래와 같이 놓을 수 있습니다. 비례상수를 k라고 합시다. 

 

 

이때, Δt 동안 길냥이를 만나지 않을 확률은 아래와 같습니다. 전체확률이 1이므로 1에서 뺐습니다. 

 

 

이번에는 아래와 같은 확률을 정의해봅시다. 

 

 

t+Δt 라는 시간동안 길냥이를 한번도 마주치지 않을 확률입니다. 이 확률은 아래와 같이 표현됩니다. 

 

 

t+Δt 라는 시간동안 길냥이를 한번도 마주치지 않을 확률은 t라는 시간동안 마주치지 않고, 이어서 Δt라는 시간동안 마주치지 않을 확률과 같습니다. 1번식을 이용하여 변형하면 아래와 같습니다. 

 

 

전개합시다. 

 

아래와 같이 이항합시다. 

 

 

양변을 Δt로 나눠줍니다. 

 

 

Δt를 0으로 보냅시다. 

 

 

따라서 아래 등식이 성립합니다. 

 

 

미분해서 자기 자신이 나왔고 계수만 -k가 생겼습니다. 따라서 P(0;t)는 아래와 같습니다. 

 

 

C를 구하기 위해서 t에 0을 넣어봅시다 .

 

 

P(0;0)은 0이라는 시간동안 길냥이를 만나지 않을 확률입니다. 0이라는 시간동안은 길냥이를 만날수가 없습니다. 따라서 이 확률은 1입니다. 

 

 

따라서 c는 1이됩니다. 

 

 

이제 준비단계는 끝났습니다. 아래와 같은 세개의 식을 얻었습니다. 

 

 

다음 강의에서 본격적으로 유도해보겠습니다.