반응형 지수분포10 [지수분포 한눈에] 정의, 분포함수,평균,분산,첨도,왜도,적률생성함수,특성함수 지수분포의 통계량들을 표로 요약한 내용입니다. 정의 - 단위시간당 평균 발생횟수가 $\lambda$일 때, 사건이 처음 발생할 때 까지 걸리는 시간이 T이하일 확률에 대한 분포 - 사건이 처음 발생할 때까지 걸리는 시간이 T 이하일 확률은 지수분포의 누적분포함수인 $F(T)$임 정의역 $0 \leq x < \infty$ 분포함수 $f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$ 누적분포함수 $F(x)=1-e^{-\lambda x}$ 평균 $\frac{1}{\lambda}$ 분산 $\frac{1}{\lambda^2}$ 왜도 2 첨도 9 적률생성함수 $\left ( 1-\frac{t}{\lambda} \right )^{-1}$ 특성함수 $\left ( 1-\frac{it}{\lambda} \right ).. 2022. 7. 21. [통계 Q&A] 지수분포 문제 Q) 대기시간이 5분인 지수분포에서 10번 방문했을 때, 대기시간이 4분 이내가 8회 이상일 확률은? A) 대기시간이 5분이라는 것은, 1분에 사건이 평균 0.2회 발생하는 것을 의미합니다. 따라서 지수분포는 아래와 같습니다. $f(t)=0.2e^{-0.2t}$ 방문 시 대기시간이 4분 이내일 확률은 아래와 같이 구합니다. $P\left ( 0\leq t\leq 4 \right )=\int_{0}^{4}0.2e^{-0.2t}=\left [ -e^{-0.2t} \right ]_{0}^{4}=1-e^{-0.8}$ 10번 방문 중 대기시간 4분 이내가 8회 이상 발생할 확률은 아래와 같이 구합니다. 10번 방문 중 8회 발생 : $\binom{10}{8}\left [ 1-e^{-0.8} \right ]^{8}.. 2021. 10. 30. [손으로 푸는 확률분포] 지수분포 (8) 비기억성 (무기억성) 지수분포의 누적분포함수는 아래와 같습니다. $F(t)=1-e^{-\lambda t}$ 람다는 어떤 사건이 단위시간동안 발생하는 평균 횟수입니다. 누적분포함수 $F(t)$ 는 사건이 발생할 때 까지 걸리는 시간이 t 이하일 확률입니다. 다른 말로 하면 시간 t가 되기 전에 사건이 발생할 확률입니다. 지수분포는 비기억성이라는 대표적인 특징있습니다. 이전 일을 기억하지 못한다는 의미인데요. 수식으로 이해하는 편이 쉽습니다. 아래 성질을 비기억성이라고 합니다. $P(X>a+t|X>a)=P(X>t)$ 먼저 이 성질을 설명하고 나서, 지수분포에서 성립한다는 것을 보이겠습니다. 확률변수 X는 사건이 처음 발생한 시간입니다. 따라서 우변은 t 시간 이후에 사건이 발생할 확률입니다. 사건을 어떤 물건의 '고장'이라고 한.. 2021. 9. 25. [손으로 푸는 확률분포] 지수분포 (7) 누적분포함수 지수분포는 주로 누적분포함수의 형태로 사용됩니다. 누적분포함수는 영어로 Cumulative distribution function 인데 줄여서 CDF라고 부릅니다. 누적분포함수는 확률밀도함수를 적분하여 구하는데, 지수분포는 그럴 필요가 없습니다. 지수분포의 누적분포함수를 이미 유도했기 때문입니다. 우리는 지수분포의 누적분포함수를 먼저 유도하고, 누적분포함수를 미분하여 확률밀도함수를 구했습니다. 지수분포를 유도할 때, 단위시간 동안 사건이 발생하는 평균 횟수를 λ 로 놓았고. 사건이 처음 발생할 때 까지 걸리는 시간이 T 이하일 확률을 먼저 유도했습니다. 그러고 나서 $f(t)$ 를 구했죠. $$P\left ( 0\leq t\leq T \right )=1-e^{-\lambda T}=\int_{0}^{T}f.. 2021. 1. 18. [손으로 푸는 확률분포] 지수분포 (6) 분산 (6) 분산 지수분포의 분산을 구해봅시다. 지수분포의 분산은 아래와 같이 구할 수 있습니다. 적분변수가 시간이므로 0부터 무한대 사이의 값을 갖습니다. E(T)는 지난 강의에서 구했습니다. 확률변수의 제곱의 평균항만 구하면 됩니다. 적분형태로 표현하면 아래와 같습니다. 지수분포 함수를 대입하면 아래와 같습니다. 부분적분을 적용합시다. 파란 항은 아래와 같이 변형할 수 있습니다. 파란항이 평균과 같으므로 아래와 같이 계산됩니다. 빨간항은 아래와 같이 계산됩니다. 분수형태로 변형합시다. 로피탈 정리를 이용하면 극한값이 0임을 알 수 있습니다. 결과를 V(T)식에 대입합시다. 이항분포의 분산은 아래와 같이 계산됩니다. 2020. 11. 23. [손으로 푸는 확률분포] 지수분포 (5) 평균 (5) 평균 지수분포의 평균을 구해봅시다. 지수분포의 평균은 아래와 같이 구할 수 있습니다. 적분변수가 시간이므로 0부터 무한대 사이의 값을 갖습니다. 지수분포 함수를 대입하면 아래와 같습니다. 부분적분을 적용합니다. 마지막 항도 적분해줍시다. 적분상수가 무한대인 경우는 아래와 같이 극한형태로 표현할 수 있습니다. 파란 부분의 극한은 0으로 수렴한다는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 따라서 아래와 같이 정리할 수 있습니다. 빨간 부분의 극한이 문제인데요. 아래와 같이 분수형태로 나타내봅시다. 형태를 간단하게 하기 위해 람다를 분자에 곱하고 나눠줍니다. 빨간 limit 안의 부분은 아래와 같은 극한문제와 같습니다. 이제 아래 극한을 구하면 됩니다. 직관적으로는 0이라는 것을 알 수 있습니다. exponenti.. 2020. 11. 16. [손으로 푸는 확률분포] 지수분포 (4) 예시 : 카페 대기시간 (4) 예시 : 카페 대기시간 지수분포에는 아래와 같은 예시들이 있습니다. - 전자 제품의 5년간 고장횟수가 평균 1회일 때, 1년 안에 고장날 확률 - 평균 대기시간은 10분인 어느 카페에 갔을 때, 기다리는 시간이 10분~20분 사이일 확률 오늘은 두번째 예시입니다. 먼저 람다(λ) 를 구해야야합니다. 프아송분포에서 람다는 딘위시간동안의 평균 발생횟수였습니다. 첫번째 예시는 평균횟수가 드러나 있지만, 두번째 예시는 그렇지 않습니다. 위 정보를 이용하여 구할 있습니다. 대기시간이 10분이라는 것은 10분에 1명꼴로 주문을 한다고 할 수 있습니다. 10분간 평균 주문 횟수가 1회라는 것입니다. 단위시간을 1분으로 놓으면 평균 주문횟수는 0.1회가 됩니다. 따라서 람다는 0.1 입니다. 이때의 지수분포는 .. 2020. 11. 3. [손으로 푸는 확률분포] 지수분포 (3) 예시 : 전자제품 고장확률 (3) 예시 : 전자제품 고장확률 지수분포에는 아래와 같은 예시들이 있습니다. - 전자 제품의 5년간 고장횟수가 평균 1회일 때, 1년 안에 고장날 확률 - 평균 대기시간은 10분인 어느 카페에 갔을 때, 기다리는 시간이 10분~20분 사이일 확률 우리는 위 예제에서 람다(λ) 를 구해야야합니다. 프아송분포에서 람다는 딘위시간동안의 평균 발생횟수였습니다. 위 상황에서 단위시간을 정하고 발생횟수를 구해야 합니다. 이번글에서는 첫번째 예제를 풀어보겠습니다. 단위시간은 우리가 원하는 대로 설정할 수 있습니다. 예를들어 단위시간을 1년으로 정해봅시다. 평균 5년에 1번 고장나는 것이므로, 1년에는 0.2번 고장난다고 할 수 있습니다. 따라서 람다(λ)는 0.2가 됩니다. 이때의 지수분포는 아래와 같습니다. 1년.. 2020. 10. 26. [손으로 푸는 확률분포] 지수분포 (2) 유도 (2) 유도 오늘은 지수분포를 유도해봅시다. 먼저 길냥이 예제를 이용하여 유도 과정을 이해하고, 일반화시키도록 하겠습니다. 길냥이 예제를 가져오겠습니다. 하루동안 길냥이를 만날 평균 횟수가 3회 일 때, 하루 동안 길냥이를 x번 만날 확률은 아래와 같았습니다. 아래 분포는 프아송 분포입니다. 이때, 길냥이를 마주칠 때까지 걸리는 기간이 5일 이하일 확률을 구해봅시다. 지수분포함수를 f(t)라고 하면, 길냥이를 마주칠 때까지 걸리는 기간이 5일 이하일 확률은 아래와 같이 표현할 수 있습니다. 위 값은 두가지 방법으로 구할 수 있습니다. 먼저 첫번째 방법입니다. 아래 확률들을 더하는 것입니다. 1일차에 길냥이 만날 확률 1일차에 길냥이 만나지 않고, 2일차에 만날 확률 1,2일차에 길냥이 만나지 않고, 3일.. 2020. 10. 1. [손으로 푸는 확률분포] 지수분포 (1) 소개 (1) 소개 지수분포는 프아송분포에서 유도된 분포입니다. 아래와 같은 프아송분포가 있다고 합시다. 프아송분포에서 λ 는 단위 시간당 사건의 평균발생횟수였습니다. 프아송분포 강의에서 예로 들었던 길냥이 예제를 가져오겠습니다. 하루동안 길냥이를 만날 평균 횟수가 3회 일 때, 하루 동안 길냥이를 x번 만날 확률이 프아송분포입니다. 이 프아송분포가 성립하는 상황에서 아래 질문이 이어질 수 있습니다. 길냥이를 마주칠 때가지 걸리는 기간이 T일 이하일 확률이 얼마일까? 일반화 시키면 아래와 같은 질문입니다. 단위시간당 사건의 발생 횟수 평균이 λ 일 때, 사건이 처음 발생할 때 까지 걸리는 시간이 T단위시간 이하일 확률이 얼마일까? 그 확률이 아래 면적이 되도록 하는 함수 f(t)가 지수분포입니다. 수식으로 표현.. 2020. 10. 1. 이전 1 다음 반응형
