[손으로 푸는 확률분포] 지수분포 (7) 누적분포함수

지수분포는 주로 누적분포함수의 형태로 사용됩니다. 누적분포함수는 영어로 Cumulative distribution function 인데 줄여서 CDF라고 부릅니다.

 

누적분포함수는 확률밀도함수를 적분하여 구하는데, 지수분포는 그럴 필요가 없습니다. 지수분포의 누적분포함수를 이미 유도했기 때문입니다. 우리는 지수분포의 누적분포함수를 먼저 유도하고, 누적분포함수를 미분하여 확률밀도함수를 구했습니다.  

지수분포를 유도할 때, 단위시간 동안 사건이 발생하는 평균 횟수를 λ 로 놓았고. 사건이 처음 발생할 때 까지 걸리는 시간이 T 이하일 확률을 먼저 유도했습니다. 그러고 나서 $f(t)$ 를 구했죠. 

$$P\left ( 0\leq t\leq T \right )=1-e^{-\lambda T}=\int_{0}^{T}f(t)dt$$

우변을 T를 변수로 하는 함수로 이해하면, 이 함수가 지수분포의 누적분포함수입니다. 사건 발생 평균횟수가 λ 일 때, 지수분포의 누적분포함수는 아래와 같습니다. 

$$F(t)=1-e^{-\lambda t}$$

대문자 F(t) 를 사용하겠습니다. 함수값의 의미를 이해해봅시다. t에 2를 넣어봅시다. F(2) 값은 2단위시간 이내에 사건이 발생할 확률입니다. 단위시간이 1년이면 2의 의미는 2년이고, 단위시간이 1시간이면 2의 의미는 2시간이 됩니다. 

 

예를 들어 봅시다. 전자 제품의 5년간 고장횟수가 평균 1회이고, 단위시간을 1년이라고 놓겠습니다. 단위 시간동안 평균 고장횟수를 계산해보면 0.2회가 됩니다. 이 값이 람다(λ)입니다. 지수분포의 누적분포함수는 아래와 같습니다. 

 

$$F(t)=1-e^{-0.2t}$$ 

 

F(t)의 의미는 1년동안 평균 고장횟수가 0.2회 일 때, t시간 이내에 고장이 발생할 확률입니다. 

 

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