[손으로 푸는 확률분포] 지수분포 (6) 분산

 

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(6) 분산

 

지수분포의 분산을 구해봅시다. 지수분포의 분산은 아래와 같이 구할 수 있습니다. 적분변수가 시간이므로 0부터 무한대 사이의 값을 갖습니다. 

E(T)는 지난 강의에서 구했습니다. 

확률변수의 제곱의 평균항만 구하면 됩니다. 적분형태로 표현하면 아래와 같습니다. 

지수분포 함수를 대입하면 아래와 같습니다. 

 

부분적분을 적용합시다.

파란 항은 아래와 같이 변형할 수 있습니다.  

파란항이 평균과 같으므로 아래와 같이 계산됩니다.  

빨간항은 아래와 같이 계산됩니다.

분수형태로 변형합시다.

로피탈 정리를 이용하면 극한값이 0임을 알 수 있습니다. 

결과를 V(T)식에 대입합시다.

이항분포의 분산은 아래와 같이 계산됩니다.