[손으로 푸는 확률분포] 지수분포 (8) 비기억성 (무기억성)

지수분포의 누적분포함수는 아래와 같습니다. 

 

$F(t)=1-e^{-\lambda t}$

 

람다는 어떤 사건이 단위시간동안 발생하는 평균 횟수입니다. 누적분포함수 $F(t)$ 는 사건이 발생할 때 까지 걸리는 시간이 t  이하일 확률입니다. 다른 말로 하면 시간 t가 되기 전에 사건이 발생할 확률입니다. 

 

지수분포는 비기억성이라는 대표적인 특징있습니다. 이전 일을 기억하지 못한다는 의미인데요. 수식으로 이해하는 편이 쉽습니다. 

 

아래 성질을 비기억성이라고 합니다. 

 

$P(X>a+t|X>a)=P(X>t)$

 

먼저 이 성질을 설명하고 나서, 지수분포에서 성립한다는 것을 보이겠습니다. 

 

확률변수 X는 사건이 처음 발생한 시간입니다. 따라서 우변은 t 시간 이후에 사건이 발생할 확률입니다. 사건을 어떤 물건의 '고장'이라고 한다면 t시간 이후에 고장날 확률입니다. 좌변은 이미 a라는 시간이 지난 상태에서, t시간이 더 지나서 고장날 확률입니다.  두 확률이 같습니다. 핸드폰으로 예를 들어봅시다. 핸드폰이 고장날 확률이 지수분포를 따른다고 합시다. 핸드폰을 처음 구매한 시점으로 부터 5년 이후에 고장날 확률이 90%라고 합시다. 핸드폰을 2년동안 사용했고 고장나지 않았습니다. 2년이 지난 시점을 기준으로 다시 5년 후에 고장날 확률도 90% 가 됩니다. 이미 지난 시간은 기억하지 않습니다. 

 

이번에는 지수분포에서 위 성질이 성립한다는 것을 보여봅시다. 

 

$P(X>a+t|X>a)=\frac{P(X>a+t)}{P(X>a)}$

 

누적분포함수를 변형하여 우변에 대입해야합니다. 누적분포함수는 아래와 같습니다 .

 

$F(t)=P(0\leq X \leq t)=1-e^{-\lambda t}$

 

아래와 같이 변형합시다. 

 

$1-F(t)=1-P(0\leq X \leq t)=P(X>t)=e^{-\lambda t}$

 

따라서 아래 등식이 성립합니다. 

 

$P(X>t)=e^{-\lambda t}$

 

유도하던 식에 대입합시다. 

 

$P(X>a+t|X>a)=\frac{e^{-\lambda (a+t)}}{e^{-\lambda a}}$

 

아래와 같이 약분됩니다. 

 

$P(X>a+t|X>a)=e^{-\lambda t}$

 

우변은 아래와 같습니다. 

 

$P(X>a+t|X>a)=P(X>t)$

 

비기억성이 유도되었습니다.