[손으로 푸는 확률분포] 지수분포 (2) 유도

 

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(2) 유도

 

오늘은 지수분포를 유도해봅시다. 먼저 길냥이 예제를 이용하여 유도 과정을 이해하고, 일반화시키도록 하겠습니다. 

 

길냥이 예제를 가져오겠습니다. 하루동안 길냥이를 만날 평균 횟수가 3회 일 때, 하루 동안 길냥이를 x번 만날 확률은 아래와 같았습니다. 아래 분포는 프아송 분포입니다. 

이때, 길냥이를 마주칠 때까지 걸리는 기간이 5일 이하일 확률을 구해봅시다. 지수분포함수를 f(t)라고 하면, 길냥이를 마주칠 때까지 걸리는 기간이 5일 이하일 확률은 아래와 같이 표현할 수 있습니다.  

위 값은 두가지 방법으로 구할 수 있습니다. 먼저 첫번째 방법입니다. 아래 확률들을 더하는 것입니다.

1일차에 길냥이 만날 확률
1일차에 길냥이 만나지 않고, 2일차에 만날 확률
1,2일차에 길냥이 만나지 않고, 3일차에 만날 확률
1,2,3일차에 길냥이 만나지 않고, 4일차에 만날 확률
1,2,3,4일차에 길냥이 만나지 않고, 5일차에 만날 확률

두번째 방법은 여사건을 이용하는 것입니다. 

1-(5일 동안 길냥이를 마주치지 않을 확률)

5일동안 길냥이를 마주치지 않을 확률을 구하기 위해, 하루 동안 길냥이를 마주치지 않을 확률을 먼저 구해봅시다. 위 프아송분포에 0을 넣으면 됩니다. 

5일 동안 마주치지 않을 확률은 하루동안 마주치지 않을 확률을 다섯 번 곱하면 됩니다. 

따라서 길냥이를 마주칠 때까지 걸리는 기간이 5일 이하일 확률은 아래와 같습니다. 

평균 횟수를 λ로, 기간을 T로 바꿔봅시다. 하루 동안 길냥이를 만날 평균 횟수가 λ회 일 때, 길냥이를 마주칠 때까지 걸리는 시간이 T일 이하일 확률은 아래와 같습니다. 

양변을 T로 미분하면 f(T)를 구할 수 있습니다. 

일반화시켜봅시다. 

단위시간 동안 사건이 발생하는 평균 횟수가 λ 라고 합시다. 사건이 처음 발생할 때 까지 걸리는 시간이 T 일 확률이 아래와 같을 때,

함수 f(t) 를 지수분포라고 하고, 수식은 아래와 같습니다. 

(함수 값이 확률이 아니라, 넓이가 확률이기 때문에 헷갈릴 수 있습니다.)