[손으로 푸는 확률분포] 음이항분포 (4-1) 평균

 

 

4-1) 통계량 - 평균

 

음이항분포의 평균은 아래와 같이 정의됩니다.

 

$E[X]  = \sum_{x=0}^{\infty} x \, p(x)  = \sum_{x=0}^{\infty}      x \binom{x + r - 1}{x} \, p^x \,(1-p)^r$

 

x를 1부터로 바꿔도 계산 결과가 동일하므로 바꿔줍니다. 

 

$E[X]  = \sum_{x=1}^{\infty}      x \binom{x + r - 1}{x} \, p^x \,(1-p)^r$

 

조합을 아래와 같이 풀어서 써봅시다. 

$E[X] = \sum_{x=1}^{\infty}      x \cdot      \frac{(x + r - 1)!}{(r - 1)!\, x!}      \, p^x \,(1-p)^r$

 

x를 약분해줍니다.

 

$E[X] = \sum_{x=1}^{\infty}      \frac{(x + r - 1)!}{(r - 1)!\, (x-1)!}      \, p^x \,(1-p)^r$

 

p를 하나 분리해서 시그마 기호 밖으로 꺼내줍니다. 

 

$E[X] = p\sum_{x=1}^{\infty}      \frac{(x + r - 1)!}{(r - 1)!\, (x-1)!}      \, p^{x-1} \,(1-p)^r$

 

r을 분자분모에 곱합니다. 1을 곱하는 것이므로 수식에 영향을 주지 않습니다. 

 

$E[X] = pr\sum_{x=1}^{\infty}      \frac{(x + r - 1)!}{r!\, (x-1)!}      \, p^{x-1} \,(1-p)^r$

 

x-1을 y로 치환합니다. 

 

$E[X] = pr\sum_{y=0}^{\infty}      \frac{(x + r - 1)!}{r!\, y!}      \, p^{y} \,(1-p)^r$

 

조합 기호를 이용하여 표현해줍니다. 

 

$E[X] = p \, r    \sum_{y=0}^{\infty}   \binom{y + r}{y}\,   p^y \,(1-p)^r$

 

시그마 안의 r을 k-1로 치환합니다. 

 

$E[X] = p \, r    \sum_{y=0}^{\infty}   \binom{y + k-1}{y}\,   p^y \,(1-p)^{k-1}$

 

아래와 같이 변형합니다. 1/(1-p)를 밖으로 꺼냈습니다. 

 

$E[X] = \frac{p \,r}{1-p}    \sum_{y=0}^{\infty}   \binom{y + k-1}{y}\,   p^y \,(1-p)^{k}$

 

시그마 부부은 NB(k,p)의 총합입니다. 확률분포의 총 합이므로 값은 1입니다. 따라서 평균은 아래와 같습니다. 

 

$E[X]=\frac{pr}{1-p}$