[손으로 푸는 확률분포] 음이항분포 (4-1) 평균

 

 

4-1) 통계량 - 평균

 

음이항분포의 평균은 아래와 같이 정의됩니다.

 

 

x를 1부터로 바꿔도 계산 결과가 동일하므로 바꿔줍니다. 

 

 

조합을 아래와 같이 풀어서 써봅시다. 

 

x를 약분해줍니다.

 

 

p를 하나 분리해서 시그마 기호 밖으로 꺼내줍니다. 

 

 

r을 분자분모에 곱합니다. 1을 곱하는 것이므로 수식에 영향을 주지 않습니다. 

 

 

x-1을 y로 치환합니다. 

 

 

조합 기호를 이용하여 표현해줍니다. 

 

 

r을 k-1로 치환합니다. 

 

 

아래와 같이 변형합니다. 1/(1-p)를 밖으로 꺼냈습니다. 

 

 

빨간색 부부은 NB(k,p)의 총합입니다. 확률분포의 총 합이므로 값은 1입니다. 따라서 평균은 아래와 같습니다.