[손으로 푸는 확률분포] 음이항분포 (1) 소개

 

 

1) 소개 (음이항분포는 여러가지로 정의된다!)

 

이미 배운 기하분포를 떠올려봅시다. 음이항분포는 기하분포의 확장버젼이라고 할 수 있습니다. 더 정확히 말하면 음이항분포의 여러 정의중 하나가, 기하분포의 확장버전입니다. 

기하분포의 정의는 아래와 같습니다. 

성공확률을 p라고 했을 때, x번째 시행에서 첫번째 성공이 나올 확률 p(x)의 분포

이 정의에서 첫번째를 k번째로 바꾸면 음이항분포가 됩니다. 

성공확률을 p라고 했을 때, x번째 시행에서 k번째 성공이 나올 확률 p(x)의 분포.

위 음이항분포를 보면, 사전에 정의되어야할 값이 성공확률 p 말고 k도 있습니다. p와 k이 정해져야 확률분포함수가 정의된다는 말입니다. 

 

음이항분포는 위의 방법 외에 정의하는 방법이 더 있습니다. 또한 위 방법은 일반적으로 사용되는 음이항분포 정의방법은 아닙니다. 기하분포와의 비교를 위해 먼저 소개한 것입니다. 음이항분포의 변수를 다시 한번 살펴봅시다. 음이항분포에는 '시행횟수' 와 '성공횟수'가 등장합니다. 여기서 우리는 '실패횟수'도 정의할 수 있습니다. 시행횟수에서 성공횟수를 빼면 실패횟수가 됩니다. 시행횟수를 n, 성공횟수를 k, 실패횟수를 r이라고 놓으면 아래와 같은 등식이 성립합니다. 

 

n=k+r

 

이 중 한 값을 결정하고, 또 한 값을 변수로 놓을 수가 있습니다. 따라서 아래의 다섯가지 경우가 가능합니다. 

1) r이 정해지고, k가 변수인 경우 (마지막이 실패로 끝남)
2) r이 정해지고, n이 변수인 경우 (마지막이 실패로 끝남)
3) k가 정해지고, r이 변수인 경우 (마지막이 성공으로 끝남)
4) k가 정해지고, n이 변수인 경우 (마지막이 성공으로 끝남)
5) n이 정해지고, k 또는 r이 변수인 경우 : 이항분포가 됩니다. 

이 중 첫번째 정의가 일반적인 정의입니다. 이번 강의에서도 첫번째 정의로 설명하겠습니다. 

 

첫번째 정의를 자세히 풀어 설명하면 아래와 같습니다. 

성공확률을 p라고 했을 때, r번의 실패가 나오기까지 발생한 성공이 k번일 확률 p(X=k)의 분포

 

---

음이항 분포의 여러가지 정의에 대해 설명한 다른 글 : hsm-edu.tistory.com/1037