[손으로 푸는 확률분포] 음이항분포 (2) 예시

 

2) 예시

어떤 농구선수의 자유투 성공률이 30%라고 해봅시다. 이 농구선수가 3번의 실패가 나오기까지 발생한 성공이 x번인 확률이 음이항분포입니다. x가 0일 때부터 구해봅시다. 성공 없이 실패만 세번 하면 됩니다. 

 

x가 1일 때는 어떨까요. 실패를 3번 할 동안 성공이 1번 나오면 됩니다. 마지막에 실패로 끝나는 것이므로 아래와 같은 경우들이 가능합니다. 

실패/실패/성공/실패
실패/성공/실패/실패
성공/실패/실패/실패

 

위와 같은 경우가 발생할 확률을 구해봅시다. 

 

 

이번에는 x가 2일 때 발생 가능한 경우를 구해봅시다. 

실패/실패/성공/성공/실패
실패/성공/실패/성공/실패
....

 

경우가 많아서 세기가 귀찮습니다. 규칙을 찾아야 합니다. 마지막에는 실패로 끝나야 하니까. 실패횟수에서 하나를 빼놓습니다. 위 경우에는 3번의 실패에서 하나를 뺏기 때문에 두번의 실패가 남습니다. 거기에 성공횟수 2회가 더해져서, 실패2성공2를 나열한 경우의수가 됩니다. 조합으로 하면 C(4,2) 입니다. 확률을 구하면 아래와 같습니다. 

 

성공횟수를 자연수 값이 아니라 x로 놓아봅시다. 마지막에 실패를 한번 해야하므로 실패 하나를 빼놓습니다. 성공 x회와, 실패 2회를 나열하면 됩니다. 조합으로 계산하면 C(x+2,2)입니다. 확률을 구하면 아래와 같습니다.