[손으로 푸는 확률분포] 기하분포 (4) 분산

 

 

4-2) 통계량 - 분산

기하분포의 분산은 아래와 같이 정의됩니다. 

 

시그마를 전개해봅시다. 아래 식을 1번식이라고 하겠습니다. 

 

<1번 식>

양변에 (1-p)를 곱합시다. 

 

<2번 식>

1식에서 2식을 빼겠습니다. 

 

 

이제 빨간색 부분을 시그마 형태로 다시 바꿔봅시다. 양변의 p는 약분하구요. 

 

 

시그마 안쪽의 식을 인수분해합니다. 

 

계산하면 아래와 같습니다. 

 

 

전개해봅시다. 

 

 

빨간부분은 평균을 구할때의 식에서 p가 빠진 형태와 동일합니다. 따라서 평균의 결과를 p로 나눠준 값과 동일합니다. 파란부분은 등비수열의 합으로 구할 수 있고, 마지막 항은 0으로 수렴합니다. 계산해봅시다. 

 

 

이제 아래 식에 결과를 넣어봅시다.