[손으로 푸는 확률분포] 기하분포 (3~4) 유도, 평균

 

 

3) 일반화(유도)

어떤 사건이 발생할 확률이 p라고 합시다. 사건이 발생하지 않을 확률은 1-p 입니다. 성공과 실패로 봐도 됩니다. 이때 기하분포는 아래와 같습니다. 확률변수 x는 모든 자연수입니다. 

 

기호로는 아래와 같이 나타냅니다. 

 

 

 

4-1) 통계량 - 평균

미적분을 이용해서 유도하는 짧은 방법이 있긴 한데, 더 많은 분들이 이해할 수 있도록 길지만 미적분이 들어가지 않는 방법으로 유도하겠습니다. 

 

기하분포의 평균은 아래와 같이 정의됩니다. 

 

 

시그마를 전개해봅시다. 확률변수는 모든 자연수이기 때문에 극한이 등장합니다. 아래 식을 1번 식이라고 합시다. 

 

$E(X)=\lim_{n\rightarrow \infty}p\left \{  1+2(1-p)+\cdots  +(n-1)(1-p)^{n-2}+n(1-p)^{n-1}  \right \} \quad ......(1)$

 

(1-p)를 양변에 곱해서 식을 하나 더 만듭시다. 

 

$(1-p)\cdot E(X)=\lim_{n\rightarrow \infty}p\left \{  (1-p)+2(1-p)^2+\cdots  +(n-1)(1-p)^{n-1}+n(1-p)^{n}  \right \} \quad ......(2)$

 

1번 식에서 2번 식을 빼겠습니다. 

 

$p\cdot E(X)=\lim_{n\rightarrow \infty}p\left \{  \textcolor{red}{1+(1-p)+(1-p)^2+\cdots +(1-p)^{n-1}} -n(1-p)^{n}  \right \} \quad$

 

p는 약분됩니다. 빨간부분은 등비수열입니다. 등비수열의 합을 구해봅시다. 

 

$E(X)=\lim_{n\rightarrow \infty}\left \{ \frac{1-(1-p)^{n}}{1-(1-p)} - n(1-p)^{n} \right \}$

 

두 항 모두 수렴하기 때문에 극한을 분리해서 쓸 수가 있습니다. 

$E(X)=\lim_{n\rightarrow \infty}\left \{ \frac{1-(1-p)^{n}}{1-(1-p)} \right \} - \lim_{n\rightarrow \infty}\left \{ n(1-p)^{n} \right \}$

 

첫항은 1/p 로 수렴합니다. 두번째 항은 0으로 수렴합니다. 로피탈정리를 이용하면 됩니다. 

$\lim_{n\rightarrow \infty }{n(1-p)^{n}}= \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{n}{(1-p)^{-n}}= \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{-n(1-p)^{-n-1}}=0$

따라서 아래 등식이 유도됩니다.