이항분포, 정규분포, 푸아송분포의 관계

이항분포를 정규분포로 근사할 때도 n을 무한대로 보내고, 푸아송분포로 보낼 때도 n을 무한대로 보내니 혼란이 오시는 분들이 계실겁니다. 오늘은 이 문제를 해결해봅시다.

이항분포, 푸아송분포, 정규분포 함수는 아래와 같습니다. 

이항분포 : $f(x)=\binom{n}{x} p^{x}(1-p)^{n-x}$

푸아송분포 : $f(x)=\frac{\lambda^{x}e^{-\lambda}}{x!}$

정규분포 : $f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left ( \frac{x-\mu}{\sigma} \right )^{2}}$

이항분포를 정규분포로 근사할 때는 p를 고정한 상태로 n을 무한대로 보냅니다. 예를 들면 앞면이 나오는 확률(p)는 고정되고, 동전을 던지는 횟수(n)가 늘어나는 것입니다. 

이항분포를 푸아송분포로 근사할 때는 np가 고정된 상태로 n을 무한대로 보냅니다. 따라서 p는 0에 가까워져 갑니다. 예를 들면 길을 걷다 길냥이를 마주치는 횟수를 확률변수로 할 때, 시행횟수 n은 무한에 가깝습니다. 매 순간이 시행입니다. 하지만 하루 평균 길냥이를 마주치는 횟수는 유한한 값을 갖습니다. 따라서 np는 어떤 유한한 값이므로, n이 무한대로 가면 p는 0에 가까워져 갑니다. 

푸아송분포를 정규분포로 근사하는 것도 가능합니다. np를 무한대로 보내면 됩니다. 푸아송분포에서는 n을 무한하다는 것이 전제인데, 이때 np가 무한해지면 p는 0에 수렴하는 값이 아니라 크기가 있는 어떤 값으로 취급될 수 있다고 생각하시면 됩니다.