X가 U(0,1)인 균등분포를 따르면 1-X 도 그럴까

오늘 증명해볼 내용은 아래와 같습니다. 

X가 U(0,1)인 균등분포를 따르면 1-X 도 그럴까

직관적으로 당연하지만 수식으로 증명해보겠습니다. 두 확률분포의 적률생성함수가 같다면 두 확률변수는 같다는 성질을 이용하여 증명하겠습니다. 

먼저 U(0,1)을 따르는 확률변수 X의 적률생성함수를 유도하겠습니다. X의 적률생성함수는 아래와 같습니다. 

$M_{X}(t)=E\left [ e^{tX} \right ]=\int_{-\infty}^{\infty}e^{tx}f(x)dx$

x는 0과 1 사이에서만 1이라는 값을 가지므로 아래와 같이 변형됩니다. 

$E\left [ e^{tX} \right ]=\int_{0}^{1}e^{tx}dx$

적분합시다. 

$M_{X}(t)=E\left [ e^{tX} \right ]=\left [ \frac{e^{tx}}{t} \right ]_{0}^{1}=\frac{e^{t}-1}{t}$

이번에는 1-X의 적률생성함수를 유도합시다. 

$M_{X}(t)=E\left [ e^{t(1-X)} \right ]=\int_{-\infty}^{\infty}e^{t(1-x)}f(x)dx$

적분과 무관한 항을 밖으로 꺼내줍니다. 

$M_{X}(t)=E\left [ e^{t(1-X)} \right ]=e^{t}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-tx}f(x)dx$

x는 0과 1 사이에서만 1이라는 값을 가지므로 아래와 같이 변형됩니다. 

$M_{X}(t)=E\left [ e^{t(1-X)} \right ]=e^{t}\int_{0}^{1}e^{-tx}dx$

적분합시다. 

$M_{X}(t)=E\left [ e^{t(1-X)} \right ]=e^{t}\left [ \frac{-e^{-tx}}{t} \right ]_{0}^{1}=e^{t}\cdot \frac{-e^{-t}+1}{t}=\frac{e^{t}-1}{t}$

X와 1-X 의 적률생성함수가 같습니다. 따라서 X가 U(0,1) 을 따르면 1-X도 U(0,1)을 따릅니다.