[손으로 푸는 통계 ver1.0] 60. 표본분산의 분포 유도 (25) 이분의일 팩토리얼이 이분의 루트 파이임을 증명

 

 

지난 시간에 우리는 왈리스공식을 유도했습니다. 아래와 같습니다.

 

$\frac{\pi}{2}=\prod_{n=1}^{\infty}\frac{4n^{2}}{4n^{2}-1}=\prod_{n=1}^{\infty}\left ( \frac{2n}{2n-1}\cdot \frac{2n}{2n+1} \right )=
\left ( \frac{2}{1} \cdot  \frac{2}{3}\right )
\left ( \frac{4}{3} \cdot  \frac{4}{5}\right )
\left ( \frac{6}{5} \cdot  \frac{6}{7}\right )
\left ( \frac{8}{7} \cdot  \frac{8}{9}\right )
\cdots $

 

이번 시간에는 왈리스공식과 오일러 무한곱을 이용하여 $\frac{1}{2}!$ 이 $\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ 유도해봅시다. 오일러가 영감을 받고 감마함수 적분형을 발견하게된 그 수식입니다. 

 

오일러 무한곱은 아래와 같습니다 .

 

$
n!=\prod_{m=1}^{\infty }\frac{1}{\left ( 1+\frac{n}{m} \right )}\cdot \left ( 1+\frac{1}{m} \right )^{n}\
$

 

n의 자리에 $\frac{1}{2}$을 넣어봅시다. 

 

$\frac{1}{2}!=\prod_{m=1}^{\infty }\frac{1}{ \left ( 1+\frac{1}{2m} \right )} \cdot \left ( 1+\frac{1}{m} \right )^{\frac{1}{2}}$

 

이 값을 A라고 두겠습니다. 

 

$\prod_{m=1}^{\infty }\frac{1}{\left ( 1+\frac{1}{2m} \right )}\cdot \left ( 1+\frac{1}{m} \right )^{\frac{1}{2}} = A$

 

아래와 같이 좌변을 변형합시다. 

 

$\prod_{m=1}^{\infty }\frac{2m}{2m+1}\cdot \left ( \frac{m+1}{m} \right )^{\frac{1}{2}} = A$

 

양변을 제곱합시다. 

 

$\prod_{m=1}^{\infty }\frac{2m}{2m+1}\cdot \frac{2m}{2m+1} \cdot 
\left ( \frac{m+1}{m} \right ) = A^{2}$

 

아래와 같이 변형합시다. 

 

$\prod_{m=1}^{\infty }\frac{2m}{2m+1}\cdot \frac{2(m+1)}{2m+1}  = A^{2}$

 

좌변의 분자를 전개합시다. 

 

$\prod_{m=1}^{\infty }\frac{2m}{2m+1}\cdot \frac{2m+2}{2m+1}  = A^{2}$

 

좌변의 무한곱을 풀어쓰면 아래와 같습니다. 

 

$ \frac{2}{3} \cdot  \frac{4}{3}\cdot  \frac{4}{5} \cdot  \frac{6}{5}
\cdot  \frac{6}{7} \cdot  \frac{8}{7} \cdots
= A^{2}$

 

$\frac{1}{2}$과 $2$를 곱해줍니다. 1을 곱한 것이므로 등식에 영향을 주지 않습니다. 

 

$ \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot  \frac{4}{3}\cdot  \frac{4}{5} \cdot  \frac{6}{5}
\cdot  \frac{6}{7} \cdot  \frac{8}{7} \cdots
= A^{2}$

 

아래와 같이 빨간색으로 표시한 부분을 봅시다. 

 

 $\frac{1}{2} \textcolor{red}{\cdot {\color{Red} \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot  \frac{4}{3}\cdot  \frac{4}{5} \cdot  \frac{6}{5}
\cdot  \frac{6}{7} \cdot  \frac{8}{7}} \cdots  }
= A^{2}$

 

이 부분은 왈리스 공식과 동일합니다. 따라서 아래와 같이 변형할 수 있습니다. 

 

$ \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}
= A^{2}$

 

A에 대해 정리하면 아래와 같습니다. A는 양의 값을 같습니다. 

 

$\frac{\sqrt{\pi}}{2}
= A$

 

A는 $\frac{1}{2}!$ 이므로, 아래 등식이 유도됩니다. 

 

$\frac{1}{2}!=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$