[손으로 푸는 통계 ver1.0] 67. 표본분산의 분포 유도 (32) 감마함수 수렴성 증명 #3

 

 

감마함수 적분형의 수렴성을 증명하고 있습니다. 아래와 같이 6단계로 나눠서 증명하는데요. 지난 시간에는 1-3단계를 증명했고, 오늘은 4단계를 증명하겠습니다.

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증명과정 요약

 

1) $a>0$일 때, $\int_{0}^{\infty}e^{-at}dt$ 의 수렴 증명

 

2) $\lim_{t\rightarrow \infty}\frac{t^{n-1}}{e^{\frac{1}{2}t}}=0$ 증명

 

3) 2번 이용, $0 < e^{-t}t^{n-1} < e^{-\frac{1}{2}t}$ 증명

 

4) 3번 이용, $\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{n-1}dt \ (n \in N)$ 수렴 증명

 

5) 4번 이용, 실수 $x \geq 1$ 에서 $\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{x-1}dt$ 수렴 증명

 

6) 실수 $0 < x < 1$ 에서 $\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{x-1}dt$ 수렴 증명

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4) 3번 이용, $\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{n-1}dt \ (n \in N)$ 수렴 증명

3번 부등식은 아래와 같습니다. 

 

$0 < e^{-t}t^{n-1} < e^{-\frac{1}{2}t}$

 

t>M인 영역에서 성립합니다. 각 변에 적분을 취해봅시다. 

 

$\int_{M}^{\infty}0dt < \int_{M}^{\infty}e^{-t}t^{n-1}dt < \int_{M}^{\infty}e^{-\frac{1}{2}t}dt$

 

좌변은 수렴합니다. 우변은 1번에 의해 수렴합니다. 따라서 아래 적분값이 수렴합니다. 

 

$\int_{M}^{\infty}e^{-t}t^{n-1}dt$

 

이제 아래 값의 수렴성을 보여야 합니다. 

 

$\int_{0}^{M}e^{-t}t^{n-1}dt$

 

$e^{-t}$ 는 t=0일 때 값이 1인 감소함수이므로 아래 부등식이 성립합니다. 

 

$0 \leq e^{-t}t^{n-1}\leq t^{n-1}$

 

따라서 아래 부등식이 성립합니다. 

 

$0 \leq  \int_{0}^{M}e^{-t}t^{n-1}dt \leq  \int_{0}^{M}t^{n-1}dt$

 

맨 오른쪽 항을 계산하면 아래와 같습니다. 

 

$0 \leq  \int_{0}^{M}e^{-t}t^{n-1}dt \leq  \frac{M^{n}}{n}$ 

 

0~M 사이의 적분값의 수렴성을 부였습니다. 따라서 아래 적분값이 수렴합니다. 

 

$\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{n-1}dt$

 

자연수에서 감마함수 적분형이 수렴함을 보인 것입니다.