감마함수 적분형의 수렴성을 증명하고 있습니다. 아래와 같이 6단계로 나눠서 증명하는데요. 지난 시간에는 4계를 증명했고, 오늘은 5단계를 증명하겠습니다. 다시 생각해보니 6번 증명이 필요가 없습니다. 5번에서 x>0 로 바꾸고 한번에 증명을 하겠습니다.
증명과정 요약
1) a>0a>0일 때, ∫∞0e−atdt∫∞0e−atdt 의 수렴 증명
2) limt→∞tn−1e12t=0 증명
3) 2번 이용, 0<e−ttn−1<e−12t 증명
4) 3번 이용, ∫∞0e−ttn−1dt (n∈N) 수렴 증명
5) 4번 이용, 실수 x>0 에서 ∫∞0e−ttx−1dt 수렴 증명
6) 실수 0<x<1 에서 ∫∞0e−ttx−1dt 수렴 증명
5) 4번 이용, 실수 x>0 에서 ∫∞0e−ttx−1dt 수렴 증명
위 적분의 수렴성을 보이기 위해서는 e−ttx−1을 부등식으로 가둬야합니다.
t≥1 조건에서, x-1보다 큰 자연수 중 가장 작은 자연수를 K라고 한다면 아래 부등식일 성립합니다.
0<e−ttx−1<e−ttK
각 변에 적분을 취해봅시다.
∫∞10dt<∫∞1e−ttx−1dt<∫∞1e−ttKdt
좌변은 수렴하고, 우변도 4번에 의해 수렴합니다. 따라서 아래 적분이 수렴합니다.
∫∞1e−ttx−1dt
이번에는 아래 범위에서 수렴함을 보여야합니다.
∫10e−ttx−1dt
e−t 는 t=0일 때 값이 1인 감소함수이므로 아래 부등식이 성립합니다.
0≤e−ttx−1≤tx−1
각 변에 적분을 취합시다.
∫100dt≤∫10e−ttx−1dt≤∫10tx−1dt
좌변은 0입니다. 우변은 적분하여 계산할 수 있습니다.
0≤∫10e−ttx−1dt≤1x
x는 0이 아니므로, 우변도 수렴합니다. 따라서 가운데 적분값도 수렴합니다. 따라서 x>0 인 범위에서 아래 적분이 수렴합니다. 아래 적분이 감마함수입니다.
∫∞0e−ttx−1dt
x>0 에서 감마함수가 수렴함을 보였습니다.
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