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@ 필수과목/손으로 푸는 통계

[손으로 푸는 통계 ver1.0] 68. 표본분산의 분포 유도 (33) 감마함수 수렴성 증명 #4

by bigpicture 2021. 9. 22.
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감마함수 적분형의 수렴성을 증명하고 있습니다. 아래와 같이 6단계로 나눠서 증명하는데요. 지난 시간에는 4계를 증명했고, 오늘은 5단계를 증명하겠습니다. 다시 생각해보니 6번 증명이 필요가 없습니다. 5번에서 x>0 로 바꾸고 한번에 증명을 하겠습니다. 


증명과정 요약

 

1) a>0a>0일 때, 0eatdt0eatdt 의 수렴 증명

 

2) limttn1e12t=0 증명

 

3) 2번 이용, 0<ettn1<e12t 증명

 

4) 3번 이용, 0ettn1dt (nN) 수렴 증명

 

5) 4번 이용, 실수 x>0 에서 0ettx1dt 수렴 증명

 

6) 실수 0<x<1 에서 0ettx1dt 수렴 증명


5) 4번 이용, 실수 x>0 에서 0ettx1dt 수렴 증명

위 적분의 수렴성을 보이기 위해서는 ettx1을 부등식으로 가둬야합니다. 

 

t1 조건에서, x-1보다 큰 자연수 중 가장 작은 자연수를 K라고 한다면 아래 부등식일 성립합니다. 

 

0<ettx1<ettK

 

각 변에 적분을 취해봅시다. 

 

10dt<1ettx1dt<1ettKdt

 

좌변은 수렴하고, 우변도 4번에 의해 수렴합니다. 따라서 아래 적분이 수렴합니다. 

 

1ettx1dt

 

이번에는 아래 범위에서 수렴함을 보여야합니다. 

 

10ettx1dt

 

et 는 t=0일 때 값이 1인 감소함수이므로 아래 부등식이 성립합니다.

 

0ettx1tx1

 

각 변에 적분을 취합시다. 

 

100dt10ettx1dt10tx1dt

 

좌변은 0입니다. 우변은 적분하여 계산할 수 있습니다. 

 

010ettx1dt1x

 

x는 0이 아니므로, 우변도 수렴합니다. 따라서 가운데 적분값도 수렴합니다. 따라서 x>0 인 범위에서 아래 적분이 수렴합니다. 아래 적분이 감마함수입니다. 

 

0ettx1dt

 

x>0 에서 감마함수가 수렴함을 보였습니다. 

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