감마함수 적분형을 이용하여 Γ(12)Γ(12) 을 계산해봅시다. 지난 60강에서 12!12!이 √π2√π2 인 것을 증명했었는데요. 이 결과와도 비교해봅시다.
감마함수 적분형은 아래와 같습니다.
Γ(z)=∫∞0tz−1e−tdtΓ(z)=∫∞0tz−1e−tdt
Γ(12)Γ(12) 계산하기 위해 z에 1/2 을 대입합시다.
Γ(12)=∫∞0t−12e−tdtΓ(12)=∫∞0t−12e−tdt
t를 x2x2으로 치환합시다.
t=x2dt=2xdx
유도하던 식에 대입합시다.
Γ(12)=2∫∞0e−x2dx
적분하려는 함수가 y축 대칭이므로 아래와 같이 변형할 수 있습니다.
Γ(12)=∫∞−∞e−x2dx
다른 변수로된 Γ(12) 을 곱해줍니다.
Γ(12)2=∫∞−∞e−x2dx∫∞−∞e−y2dy
x,y가 서로 독립적인 변수이므로 아래와 같이 변형할 수 있습니다.
Γ(12)2=∫∞−∞∫∞−∞e−x2e−y2dxdy
아래와 같이 계산해줍니다.
Γ(12)2=∫∞−∞∫∞−∞e−(x2+y2)dxdy
극좌표로 변환해줍니다.
Γ(12)2=∫2π0∫∞0e−(r2)rdrdθ
r2을 u로 치환합니다.
r2=u2rdr=du
유도하던 식에 대입합니다.
Γ(12)2=12∫2π0∫∞0e−ududθ
안쪽 적분을 계산해줍니다.
Γ(12)2=12∫2π0[−e−u]∞0dθ
아래와 같이 계산됩니다.
Γ(12)2=12∫2π01dθ
바깥쪽 적분을 계산합시다.
Γ(12)2=12⋅2π
아래와 같이 계산됩니다.
Γ(12)2=π
따라서 Γ(12) 은 아래와 같습니다.
Γ(12)=√π
감마함수는 (x-1)! 입니다. 따라서 Γ(12) 은 −12! 입니다. 이 값에 1/2을 곱하면 1/2! 이 됩니다. √π에도 1/2을 곱하면 √π2 이고, 60강의 계산결과와 일치합니다.
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