[손으로 푸는 통계 ver1.0] 64. 표본분산의 분포 유도 (29) 감마 1/2 계산하기

 

 

감마함수 적분형을 이용하여 $\Gamma \left ( \frac{1}{2} \right)$ 을 계산해봅시다. 지난 60강에서 $\frac{1}{2}!$이 $\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ 인 것을 증명했었는데요. 이 결과와도 비교해봅시다. 

감마함수 적분형은 아래와 같습니다. 

$\Gamma (z)=\int_{0}^{\infty}t^{z-1}e^{-t}dt$

 $\Gamma (\frac{1}{2})$ 계산하기 위해 z에 1/2 을 대입합시다. 

$\Gamma \left ( \frac{1}{2} \right)=\int_{0}^{\infty}t^{-\frac{1}{2}}e^{-t}dt$

t를 $x^{2}$으로 치환합시다. 

$\begin{align}
t&=x^{2}\\
dt&=2xdx
\end{align}$

유도하던 식에 대입합시다. 

$\Gamma \left ( \frac{1}{2} \right)=2\int_{0}^{\infty}e^{-x^{2}}dx$

적분하려는 함수가 y축 대칭이므로 아래와 같이 변형할 수 있습니다. 

$\Gamma \left ( \frac{1}{2} \right)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}}dx$

다른 변수로된 $\Gamma \left ( \frac{1}{2} \right)$ 을 곱해줍니다. 

$\Gamma \left ( \frac{1}{2} \right)^{2}=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}}dx\int_{-\infty}^{\infty}e^{-y^{2}}dy$

x,y가 서로 독립적인 변수이므로 아래와 같이 변형할 수 있습니다.

$\Gamma \left ( \frac{1}{2} \right)^{2}=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}}e^{-y^{2}}dxdy$

아래와 같이 계산해줍니다. 

$\Gamma \left ( \frac{1}{2} \right)^{2}=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-(x^{2}+y^{2})}dxdy$

극좌표로 변환해줍니다. 

$\Gamma \left ( \frac{1}{2} \right)^{2}=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\infty}e^{-(r^{2})}rdrd\theta$

$r^{2}$을 u로 치환합니다. 

$\begin{align}
r^{2}&=u\\
2rdr&=du
\end{align}$

유도하던 식에 대입합니다. 

$\Gamma \left ( \frac{1}{2} \right)^{2}=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\infty}e^{-u}dud\theta$

안쪽 적분을 계산해줍니다.

$\Gamma \left ( \frac{1}{2} \right)^{2}=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}
\left [ -e^{-u} \right ]^{\infty}_{0}
d\theta$

아래와 같이 계산됩니다.

$\Gamma \left ( \frac{1}{2} \right)^{2}=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}
1
d\theta$

바깥쪽 적분을 계산합시다. 

$\Gamma \left ( \frac{1}{2} \right)^{2}=\frac{1}{2}\cdot 2\pi$

아래와 같이 계산됩니다.

$\Gamma \left ( \frac{1}{2} \right)^{2}=\pi$

따라서  $\Gamma \left ( \frac{1}{2} \right)$  은 아래와 같습니다. 

$\Gamma \left ( \frac{1}{2} \right)=\sqrt{\pi}$

 

감마함수는 (x-1)! 입니다. 따라서 $\Gamma \left ( \frac{1}{2} \right)$ 은 $-\frac{1}{2}!$ 입니다. 이 값에 1/2을 곱하면 1/2! 이 됩니다. $\sqrt{\pi}$에도 1/2을 곱하면 $\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ 이고, 60강의 계산결과와 일치합니다.