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@ 필수과목/손으로 푸는 통계

[손으로 푸는 통계 ver1.0] 64. 표본분산의 분포 유도 (29) 감마 1/2 계산하기

by bigpicture 2021. 8. 1.
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감마함수 적분형을 이용하여 Γ(12)Γ(12) 을 계산해봅시다. 지난 60강에서 12!12!π2π2 인 것을 증명했었는데요. 이 결과와도 비교해봅시다. 

감마함수 적분형은 아래와 같습니다. 

Γ(z)=0tz1etdtΓ(z)=0tz1etdt

 Γ(12)Γ(12) 계산하기 위해 z에 1/2 을 대입합시다. 

Γ(12)=0t12etdtΓ(12)=0t12etdt

t를 x2x2으로 치환합시다. 

t=x2dt=2xdx

유도하던 식에 대입합시다. 

Γ(12)=20ex2dx

적분하려는 함수가 y축 대칭이므로 아래와 같이 변형할 수 있습니다. 

Γ(12)=ex2dx

다른 변수로된 Γ(12) 을 곱해줍니다. 

Γ(12)2=ex2dxey2dy

x,y가 서로 독립적인 변수이므로 아래와 같이 변형할 수 있습니다.

Γ(12)2=ex2ey2dxdy

아래와 같이 계산해줍니다. 

Γ(12)2=e(x2+y2)dxdy

극좌표로 변환해줍니다. 

Γ(12)2=2π00e(r2)rdrdθ

r2을 u로 치환합니다. 

r2=u2rdr=du

유도하던 식에 대입합니다. 

Γ(12)2=122π00eududθ

안쪽 적분을 계산해줍니다.

Γ(12)2=122π0[eu]0dθ

아래와 같이 계산됩니다.

Γ(12)2=122π01dθ

바깥쪽 적분을 계산합시다. 

Γ(12)2=122π

아래와 같이 계산됩니다.

Γ(12)2=π

따라서  Γ(12)  은 아래와 같습니다. 

Γ(12)=π

 

감마함수는 (x-1)! 입니다. 따라서 Γ(12)12! 입니다. 이 값에 1/2을 곱하면 1/2! 이 됩니다. π에도 1/2을 곱하면 π2 이고, 60강의 계산결과와 일치합니다. 

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