[손으로 푸는 t검정] 4. t분포 유도 (1) t통계량 변형

우리가 분포를 유도해야할 확률변수는 아래와 같습니다. 

 

$\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{s}{\sqrt{n}}}$

 

위 확률변수를 T라고 놓겠습니다. 

 

$T=\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{s}{\sqrt{n}}}$

 

아래와 같이 변형합시다. 분모를 모분산으로 곱하고 나눠주었습니다. 

 

$T=\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\frac{s}{\sigma}  }$

 

우변 분모를 아래와 같이 둘로 분리해 써줍니다. 

 

$T=\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}} }\frac{1}{\frac{s}{\sigma} }$

 

모집단이 정규분포를 따른다고 가정하면 우변의 첫번째 항은 표준정규분포를 따릅니다. 우변의 두번째항도 어떠한 분포를 따르게 해주고 싶습니다. 

 

[손으로 푸는 통계] 강의에서 아래 수식이 성립한다는 것을 유도했었습니다. 

 

$\frac{n-1}{\sigma^{2}}s^{2} \sim \chi^{2}_{n-1}$

 

이 성질을 이용하기 위해 우변의 두번째 항을 아래와 같이 변형하겠습니다. 

 

$T=\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}} }\frac{1}{\sqrt{\frac{s^2}{\sigma^2}} }$

 

아래와 같이 변형합니다. 

 

$T=\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}} }\frac{1}{\sqrt{\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}\frac{1}{n-1}} }$

 

아래와 같이 루트를 분리합니다. 

 

$T=\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}} }\frac{1}{\sqrt{\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}} }\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{n-1}}}$

 

 아래와 같이 변형합니다. 

 

$T=\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}} }\frac{1}{\sqrt{\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}} }\sqrt{n-1}$

 

모집단이 정규분포를 따른다고 가정하면 우변의 첫번째 항은 표준정규분포를 따릅니다. Z라고 놓겠습니다. 

 

$T=Z\frac{1}{\sqrt{\frac{ns^2}{\sigma^2}} }\sqrt{n}$

 

우변의 두번째 항 루트 안의 확률변수는 자유도가 n-1인 카이제곱분포를 따릅니다. V라고 놓겠습니다. 

 

$T=Z\frac{1}{\sqrt{V} }\sqrt{n-1}$

 

우리는 위 조건을 가지고 T가 따르는 분포를 구해야 하는 상황입니다.

 

Z와 V의 확률밀도함수는 각각 아래와 같습니다. 

$f_{Z}(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}z^2}$

$f_{V}(v)=\frac{1}{\Gamma(\frac{n}{2})2^{\frac{n}{2}}}v^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{v}{2}}$

Z와 V가 서로 독립이라고 가정하면 Z와 V의 결합확률밀도함수를 아래와 같이 구할 수 있습니다. 

$f_{Z,V}(z,v)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}z^2}\frac{1}{\Gamma(\frac{n}{2})2^{\frac{n}{2}}}v^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{v}{2}}$

Z와 V가 서로 독립이라는 것을 증명할 수 있는데요. 아래 링크로 대신하겠습니다. 

 

https://statisticaloddsandends.wordpress.com/2019/08/25/proof-that-sample-mean-is-independent-of-sample-variance-under-normality/

 

$f_{Z,V}(z,v)$에 변수변환을 적용하면 t분포를 유도할 수 있습니다. 다음시간에 변수변환 원리를 먼저 설명하겠습니다.