[손으로 푸는 t검정] 3. t분포의 아이디어

Z검정에서 사용하는 Z통계량은 아래와 같습니다. 

 

$Z=\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$

 

Z검정의 한계는 Z통계량을 구할 때, 모분산 대신 표본분산을 사용한다는 것이었습니다. 우리가 뽑은 표본의 분산은 당연히 모분산과 다를 것입니다. 아주 우연히 같은 경우가 생길 수도 있겠지만, 대부분의 경우 다를 것입니다. 

 

윌리엄 고셋은 이 문제를 해결하고 싶었습니다. 고민 끝에 이런 아이디어를 떠올리게 됩니다.

 

"표본분산을 확률변수로 포함하는 분포를 만들면 되지 않을까"

 

다른 말로 하면 아래 확률변수의 분포를 구한다는 말입니다. 

 

$\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{s}{\sqrt{n}}}$

 

이 확률변수는 Z통계량의 모분산 자리에 표본분산을 대입한 것입니다. 아마 이런 의문이 드는 분들이 계실겁니다. 

 

그럼 Z검정이랑 똑같은거 아니야?

다릅니다. Z검정은 모분산 대신 표본분산을 넣은 통계량이 표준정규분포를 따른다고 가정하고 사용합니다. 고셋이 하려는 것은 표준정규분포를 이용하는 것이 아니라, 표본분산도 통계량으로 포함한 새로운 분포를 유도하는 것입니다. 검정에는 표준정규분포가 아닌 새로 유도한 분포를 사용할 것입니다. 이렇게 유도된 분포가 바로 t분포입니다. 다음 시간에 유도해봅시다.