[손으로 푸는 t검정] 5. t분포 유도과정 요약

우리는 지난시간까지 t분포를 유도했습니다. 상당히 길고 복잡한 과정이었는데요. 오늘은 전체 과정을 간단히 요약하며 복습하겠습니다. 

 

Step1) t 통계량 정의

t통계량은 아래와 같이 정의됩니다. 

$t=\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{s}{\sqrt{n}}}$

Z 통계량에서 모표준편차 $\sigma$를 표본표준편차 s로 바꾼 통계량입니다. T통계량이 따르는 분포가 T분포입니다. 

 

Step2) t통계량 변형

모집단이 정규분포를 따른다는 가정을 하고, t 통계량을 아래와 같이 변형하였습니다. 

$t=Z\frac{1}{\sqrt{V}}\sqrt{n}$

Z는 표준정규분포를 따르는 확률변수이고 V는 n자유도 카이제곱분포를 따르는 확률변수입니다. 

 

Step3) Z와 V의 결합확률밀도함수

Z와 V의 확률밀도함수는 각각 아래와 같습니다. 

$f_{Z}(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}z^2}$

$f_{V}(v)=\frac{1}{\Gamma \left ( \frac{n}{2} \right )2^{\frac{n}{2}}  }v^{\frac{n}{2}-1}e^{\frac{v}{2}}$

Z와 V가 서로 독립이라고 가정하면, Z와 V의 결합확률밀도함수를 아래와 같이 구할 수 있습니다. 

$f_{Z,V}(z,v)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}z^2}\frac{1}{\Gamma \left ( \frac{n}{2} \right )2^{\frac{n}{2}}  }v^{\frac{n}{2}-1}e^{\frac{v}{2}}$

 

Step4) 변수변환 적용

$(z,v)$를 $(t,u)$로 변환하기 위해 아래와 같은 변수변환을 적용했습니다. 

$f_{T,V}(t,v)=f_{Z,U}(z,u)\left | J \right |$

변환 결과는 아래와 같습니다. 

$f_{T,V}(t,v)=\frac{1}{ \sqrt{2\pi n}  }\frac{1}{\Gamma\left( \frac{n}{2} \right)2^{\frac{n}{2}}  }u^{\frac{n}{2}+1}e^{-\frac{u}{2}\left( \frac{t^2}{n}+1 \right) }$

 

Step5) $f_{T,U}(t,u)$ 를 적분하여 $f_{T}(t)$ 유도

$f_{T,U}(t,u)$를 u에 대해 전체 구간으로 적분하면 $f_{T}(t)$를 구할 수 있습니다. 

$f_{T,V}(t,v)=\int_{0}^{\infty} \frac{1}{ \sqrt{2\pi n}  }\frac{1}{\Gamma\left( \frac{n}{2} \right)2^{\frac{n}{2}}  }u^{\frac{n}{2}+1}e^{-\frac{u}{2}\left( \frac{t^2}{n}+1 \right) }du$

적분 결과는 아래와 같습니다. 

$f_{T}(t)=\frac{\Gamma\left( \frac{n+1}{2} \right)}{\Gamma\left( \frac{n}{2} \right)}\frac{1}{\sqrt{\pi n}}\left( 1+\frac{t^2}{n} \right)^{-\frac{n+1}{2}}$