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@선택과목1/손으로 푸는 t검정

[손으로 푸는 t검정] 5. t분포 유도과정 요약

by bigpicture 2023. 4. 7.
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우리는 지난시간까지 t분포를 유도했습니다. 상당히 길고 복잡한 과정이었는데요. 오늘은 전체 과정을 간단히 요약하며 복습하겠습니다. 

 

Step1) t 통계량 정의

t통계량은 아래와 같이 정의됩니다. 

t=ˉXμsn

Z 통계량에서 모표준편차 σ를 표본표준편차 s로 바꾼 통계량입니다. T통계량이 따르는 분포가 T분포입니다. 

 

Step2) t통계량 변형

모집단이 정규분포를 따른다는 가정을 하고, t 통계량을 아래와 같이 변형하였습니다. 

t=Z1Vn

Z는 표준정규분포를 따르는 확률변수이고 V는 n자유도 카이제곱분포를 따르는 확률변수입니다. 

 

Step3) Z와 V의 결합확률밀도함수

Z와 V의 확률밀도함수는 각각 아래와 같습니다. 

fZ(z)=12πe12z2

fV(v)=1Γ(n2)2n2vn21ev2

Z와 V가 서로 독립이라고 가정하면, Z와 V의 결합확률밀도함수를 아래와 같이 구할 수 있습니다. 

fZ,V(z,v)=12πe12z21Γ(n2)2n2vn21ev2

 

Step4) 변수변환 적용

(z,v)를 (t,u)로 변환하기 위해 아래와 같은 변수변환을 적용했습니다. 

fT,V(t,v)=fZ,U(z,u)|J|

변환 결과는 아래와 같습니다. 

fT,V(t,v)=12πn1Γ(n2)2n2un2+1eu2(t2n+1)

 

Step5) fT,U(t,u) 를 적분하여 fT(t) 유도

fT,U(t,u)를 u에 대해 전체 구간으로 적분하면 fT(t)를 구할 수 있습니다. 

fT,V(t,v)=012πn1Γ(n2)2n2un2+1eu2(t2n+1)du

적분 결과는 아래와 같습니다. 

fT(t)=Γ(n+12)Γ(n2)1πn(1+t2n)n+12

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