우리는 지난시간까지 t분포를 유도했습니다. 상당히 길고 복잡한 과정이었는데요. 오늘은 전체 과정을 간단히 요약하며 복습하겠습니다.
Step1) t 통계량 정의
t통계량은 아래와 같이 정의됩니다.
t=ˉX−μs√n
Z 통계량에서 모표준편차 σ를 표본표준편차 s로 바꾼 통계량입니다. T통계량이 따르는 분포가 T분포입니다.
Step2) t통계량 변형
모집단이 정규분포를 따른다는 가정을 하고, t 통계량을 아래와 같이 변형하였습니다.
t=Z1√V√n
Z는 표준정규분포를 따르는 확률변수이고 V는 n자유도 카이제곱분포를 따르는 확률변수입니다.
Step3) Z와 V의 결합확률밀도함수
Z와 V의 확률밀도함수는 각각 아래와 같습니다.
fZ(z)=1√2πe−12z2
fV(v)=1Γ(n2)2n2vn2−1ev2
Z와 V가 서로 독립이라고 가정하면, Z와 V의 결합확률밀도함수를 아래와 같이 구할 수 있습니다.
fZ,V(z,v)=1√2πe−12z21Γ(n2)2n2vn2−1ev2
Step4) 변수변환 적용
(z,v)를 (t,u)로 변환하기 위해 아래와 같은 변수변환을 적용했습니다.
fT,V(t,v)=fZ,U(z,u)|J|
변환 결과는 아래와 같습니다.
fT,V(t,v)=1√2πn1Γ(n2)2n2un2+1e−u2(t2n+1)
Step5) fT,U(t,u) 를 적분하여 fT(t) 유도
fT,U(t,u)를 u에 대해 전체 구간으로 적분하면 fT(t)를 구할 수 있습니다.
fT,V(t,v)=∫∞01√2πn1Γ(n2)2n2un2+1e−u2(t2n+1)du
적분 결과는 아래와 같습니다.
fT(t)=Γ(n+12)Γ(n2)1√πn(1+t2n)−n+12
'@선택과목1 > 손으로 푸는 t검정' 카테고리의 다른 글
[손으로 푸는 t검정] 4. t분포 유도 (2) 유도 (0) | 2023.03.29 |
---|---|
[손으로 푸는 t검정] 4. t분포 유도 (1) t통계량 변형 (6) | 2023.02.16 |
[손으로 푸는 t검정] 3. t분포의 아이디어 (1) | 2022.12.24 |
[손으로 푸는 t검정] 2. Z검정과 그 한계 (0) | 2022.12.24 |
[손으로 푸는 t검정] 1. 강의 소개 (0) | 2022.07.31 |
댓글
bigpicture님의
글이 좋았다면 응원을 보내주세요!
이 글이 도움이 됐다면, 응원 댓글을 써보세요. 블로거에게 지급되는 응원금은 새로운 창작의 큰 힘이 됩니다.
응원 댓글은 만 14세 이상 카카오계정 이용자라면 누구나 편하게 작성, 결제할 수 있습니다.
글 본문, 댓글 목록 등을 통해 응원한 팬과 응원 댓글, 응원금을 강조해 보여줍니다.
응원금은 앱에서는 인앱결제, 웹에서는 카카오페이 및 신용카드로 결제할 수 있습니다.