[확률과통계 기초] 2-8. 배반사건은 독립인가 종속인가

표본공간 S에 두 사건 A와 B가 있습니다. 두 사건이 배반사건이라면 아래 그림과 같이 나타낼 수 있습니다. 

두 사건은 겹치는 부분이 없이 서로 떨어져 있기 때문에 독립적인 것처럼 보입니다. 우리가 일상적으로 쓰는 독립이라는 단어가 '떨어져 있는' 이라는 느낌을 주기 때문에 이런 오해가 발생하는 것 같습니다. 하지만 통계에서 사용하는 독립의 의미는 다릅니다. 통계에서 독립은 이렇게 정의가 되죠.

 

'한 사건의 발생이 다른 사건의 발생 확률에 영향을 주지 않는 것' 

 

그런데 만약 두 사건이 서로 배반이라면 한 사건이 발생했을 때 다른 사건이 발생할 확률은 0이 됩니다. 만약 A가 발생했다면 B는 발생할 수가 없기 때문입니다. 한 사건의 발생이 다른 사건에 엄청난 영향을 주는 것이죠. 

수식으로도 한번 이해를 해보겠습니다. 두사건 A와 B가 서로 독립이라면 이런 등식이 성립합니다. 

$P( B|A )=P(B)$

그런데 두 사건이 배반이라면 좌변은 항상 0입니다. P(B)가 0이 아니라면 등식은 성립하지 않습니다. 따라서 확률이 0이 아닌 서로 배반인 두 사건은 독립이 아닙니다. 독립의 반대를 종속이라고 부르는데요. 그래서 두 사건이 서로 배반이면 서로 종속사건이 됩니다.