[확률과통계 기초] 3-1. 확률변수

세번째 단원인 통계 단원의 첫 시간입니다. 확률변수에 대해서 배울건데요. 확률변수는 통계에서 아주 중요한한 내용입니다. 통계학은 확률변수들을 분석하는 과목이라고 할 수 있을 정도입니다. 우리는 수학에서 이미 변수라는 것을 접했는데요. 수학에서의 변수를 먼저 복습해보고 확률변수에 대해 배워봅시다. 

 

수학에서의 변수

수학에서는 정해지지 않은 어떤 값을 표현하기 위해 변수를 사용합니다. 아래와 같은 일차 함수가 있다고 합시다. 

$f(x)=2x^{2}$

이 함수에서 변수는 x입니다. 실수에서 정의된 함수라면, x에는 모든 실수가 올 수 있습니다. 혹은 변수를 유한하게 제한할 수도 있습니다. 변수 x를 아래 집합의 원소로 제한해봅시다. 

 

x={1,2,3,4,5}

 

이제 x는 1,2,3,4,5 중 하나의 값을 갖는 변수가 되었습니다. 

 

확률변수

확률변수의 정의는 아래와 같습니다. 

 

"표본공간의 각 원소에 하나의 실수를 대응시킨 함수"

 

확률변수가 함수라는 것이 쉽게 이해되지 않을 것입니다. 몇가지 예시를 통해 확률변수의 정의를 이해해봅시다. 

 

확률변수를 문자 그대로 해석해보면 확률이 부여되어 있는 변수입니다. 간단한 예를 들어 봅시다. 주사위를 하나 던질 때 나오는 값은 변수 X로 나타낼 수 있습니다. 1,2,3,4,5,6 여섯가지가 될 수 있기 때문입니다. 각각의 값에는 1/6이라는 확률이 부여되어 있습니다. 방금의 정의에서는 표본공간이 {1,2,3,4,5,6} 입니다. 표본공간 자체가 이미 실수이기 때문에 다시 실수에 대응시킬 필요가 없습니다. 

 

이번에는 더 복잡한 예를 들어봅시다. 동전을 두번 던지는 시행을 생각해봅시다. 동전을 두번던지는 시행에서 표본공간은 아래와 같습니다. 

 

{앞앞,앞뒤,뒤앞,뒤뒤}

 

위 원소들은 확률변수가 될 수 없습니다. 확률변수는 실수만 가능하다고 약속했기 때문입니다. 확률변수가 수가 아니면 수학적으로 다룰 수가 없기 때문에 실수만 가능하도록 한 것이라고 생각합니다. 동전을 두번 던지는 시행에서 아래와 같은 확률변수를 만들어 볼 수 있습니다. 

 

"동전을 두번 던져서 앞면이 나오는 횟수"

 

변수 이름을 X라고 합시다. 동전을 두번 던져서 앞면이 나오는 횟수는 0번,1번,2번이 가능합니다. 따라서 X는 0,1,2가 될 수 있습니다. 집합으로 표현하면 아래와 같습니다.

 

{0,1,2}

 

동전을 두번 던져서 앞면이 0번 나올 확률은 1/4, 앞면이 한번 나올 확률은 1/2, 앞면이 두번 나올 확률은 1/4 입니다. 각 값에 확률이 부여되어 있는 변수이므로 확률변수입니다. 

 

확률변수 X를 표본공간과 연결지어봅시다. 동전을 두번 던지는 시행의 표본공간 S는 아래와 같습니다. 

 

S={앞앞, 앞뒤, 뒤앞, 뒤뒤}

 

표본공간은 확률변수 X는 아래와 같이 대응됩니다. 

 

 

이때 확률변수를 아래와 같은 함수로도 해석할 수 있습니다. 

 

X(앞앞)=2

X(앞뒤)=1

X(뒤앞)=1

X(뒤뒤)=0

 

확률변수가 일종의 함수인 이유입니다. 

 

이와 같은 정의가 어려우신 분들은 확률변수를 '확률이 부여되어 있는 변수'로 이해하고 넘어가셔도 됩니다. 공부를 더 하시다가 쉬운 정의로 이해하는데 한계가 오면 그때 오늘 소개드린 정의를 공부해보시면 됩니다.