[확률과통계 기초] 3-5. 두 종류의 확률변수 (이산, 연속)

우리는 두 종류의 확률변수가 있다는 사실을 알게되었습니다. 확률변수가 어떤 값을 가질 확률이 존재하는 확률변수가 있었고 그렇지 않은 확률변수가 있었습니다. 

확률변수가 어떤 값을 가질 확률이 정의되는 확률변수의 예시로는 '동전을 두 번 던질 때 나오는 앞면의 개수'가 있습니다. 이 확률변수를 X라고 놓고, X가 가질 수 있는 값을 집합으로 나타내면 아래와 같습니다. 

$X=\left \{0,1,2  \right \}$

이러한 확률변수를 '이산확률변수'라고 부릅니다. 확률변수가 어떤 값을 가질 확률이 정의되는 확률변수들을 모아보니 이런 특징이 있었습니다. 

 

"확률변수가 될 수 있는 값들을 셀 수 있음."

 

이 특징을 이산확률변수의 정의로 사용합니다. 

이산확률변수 : 확률변수가 될 수 있는 값들을 셀 수 있는 확률변수

셀 수 있다는 말의 의미를 잘 이해해봅시다. 셀 수 있다는 것을 개수가 유한하다는 것으로 오해하는 경우가 있는데, 개수가 무한해도 셀 수 있는 경우가 있습니다. 셀 수 있다는 것은 '번호를 붙여서 셀 수 있다'는 뜻입니다. 모든 자연수집합을 생각해봅시다. 자연수의 개수는 무한하지만 하나,둘,셋 번호를 붙여가며 셀 수 있습니다. 유리수도 개수가 무한하지만 번호 붙여 셀 수 있다는 것이 증명되었습니다. 

여기서 이런 질문이 나올 수 있습니다. 확률변수가 될 수 있는 값의 개수가 무한히 많으면 각 값이 발생할 확률이 정의될 수 없지 않냐는 질문입니다. 이 질문은 다음 시간에 해결해봅시다. 

확률변수가 어떤 값을 가질 확률이 정의되지 않는 확률변수의 예시로는 확률변수가 실수 구간 $1\leq X \leq 3$ 의 값을 가질 수 있는 경우가 있었습니다. 이러한 확률변수를 '연속확률변수'라고 부릅니다. 연속확률변수의 정의는 아래와 같습니다. 

연속확률변수 : 확률변수가 될 수 있는 값들이 셀 수 없이 무한한 확률변수

실수 전체 집합은 셀 수 없습니다. $1\leq X \leq 3$ 와 같이 구간으로 정의된 실수집합도 셀 수 없습니다. 연속확률변수는 대부분 실수 구간에서 정의하여 사용하기 때문에 어떤 실수 구간 값을 가질 수 있는 확률변수라고 정의해도 됩니다. 

이산확률변수와 연속확률변수의 정의와 특징을 써보면 아래와 같습니다. 

1. 이산확률변수 
  1) 정의 : 확률변수가 될 수 있는 값들을 셀 수 있는 확률변수
  2) 특징 : 확률변수가 각 값을 가질 확률이 정의됨 (ex. $P[X=1]$)

2. 연속확률변수 
  1) 정의 : 어떤 실수 구간 값을 가질 수 있는 확률변수 (셀 수 없음)
  2) 특징 : 확률변수가 각 값을 가질 확률을 정의할 수 없고, 어떤 구간의 값을 가질 확률만 정의가능. (ex. $P[1\leq X \leq 2]$)