[확률과통계 기초] 3-6. 개수가 무한한 이산확률변수

이산확률변수는 아래 두가지 특징을 갖는 확률 변수 입니다. 

1) 변수가 어떤 값을 가질 확률을 정의할 수 있음
2) 변수가 될 수 있는 값들을 셀 수 있음

이와 같은 특징을 보고 나면 이산확률변수가 될 수 있는 값들의 개수가 반드시 유한할 것이라고 생각할 수 있습니다. 주사위를 던질 때 나오는 눈의 값을 확률변수로 하는 경우나, 동전을 두번 던져서 앞면이 나오는 횟수를 확률변수로 하는 경우와 같이 많은 경우 확률변수가 될 수 있는 값의 개수가 유한한 것은 맞습니다. 하지만 개수가 무한한 경우도 있습니다. 오늘은 이산확률변수가 될 수 있는 값들의 개수가 무한한 예시를 하나 살펴봅시다. 

이산확률변수가 모든 자연수 값을 가질 수 있다고 합시다. 이때 각 값이 발생할 확률을 아래와 같이 정의하겠습니다. 

 

$P\left [ X=x \right ]=\left ( \frac{1}{2} \right )^x$

 

함수 형태로 나타내면 아래와 같습니다. 

 

$p_{X}(x)=\left ( \frac{1}{2} \right )^x$

 

$\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{x=1}^{n}\left ( \frac{1}{2} \right )^x$

 

전체 확률의 합이 1이 되면 위와 같은 확률변수는 존재할 수 있습니다. 전체 확률의 합은 아래와 같이 구합니다.

$\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{x=1}^{n}\left ( \frac{1}{2} \right )^x$

등비수열의 합 공식을 적용해줍니다. 

$\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{x=1}^{n}\left ( \frac{1}{2} \right )^x=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\frac{1}{2}\left ( 1-\frac{1}{2}^n \right )}{1-\frac{1}{2}}$

극한값은 아래와 같습니다. 

$\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{x=1}^{n}\left ( \frac{1}{2} \right )^x=1$

전체 확률의 합이 1이므로 위와 이 무한히 많은 값을 가질 수 있는 확률변수가 존재할 수 있습니다. 

 

 

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