[확률과통계 기초] 3-7. 연속확률변수에서 확률이 정의되지 않는 이유

이산확률변수에서는 변수가 가질 수 있는 값의 개수가 무한한데도 변수가 어떤 값을 가질 확률이 정의되는 경우가 있었습니다. 아래와 같이 확률변수가 커지면 확률이 0으로 수렴하는 경우가 대표적인 예시입니다. 

$P\left [ X=x \right ]=\left ( \frac{1}{2} \right )^x$

연속확률변수도 확률변수가 가질 수 있는 값의 개수가 무한합니다. 이산확률변수와 달리 연속확률변수에서는 확률변수가 어떤 값을 가질 확률이 확률이 항상 정의되지 않습니다. 왜 그런지 같이 생각해봅시다. 

연속확률변수가 확률을 갖는다고 가정하고 아래와 같은 그래프를 그려봅시다. 양 끝 값은 0이라고 합시다. 

구간 안에 있는 값들이 발생할 확률이 0이 아닌 어떤 구간을 하나 정의합시다.

이 구간의 발생 확률의 최솟값을 p라고 놓겠습니다. 이때 구간의 원소 개수는 무한하므로 이 구간이 발생할 확률은 $p\times \infty$가 됩니다. 확률이 무한대이므로 모순입니다. 

연속확률변수에서는 이러한 구간이 반드시 존재하며 모순이 발생합니다. 따라서 연속확률변수에서는 확률변수가 어떤 값을 가질 확률을 정의할 수 없습니다. 

수학적으로 엄밀한 증명은 아니지만 이해를 도울수 있을거라 생각합니다.