[확률과통계 기초] 1-6. 조합이란 무엇인가

조합이 무엇인지는 '조합'이라는 한 단어로 설명하기는 어렵습니다. 조합은 아래와 같이 사용합니다. 

 

'n개에서 r개를 택하는 조합'

 

'서로 다른 n개 중에서 순서에 상관없이 r개를 선택하는 것' 이라는 뜻입니다. 예를 들어 a,bc 세개의 알파벳 중에서 2개를 택하는 조합은 아래와 같습니다. 

 

ab

ac

bc

 

순열에서는 ab와 ba가 서로 다른 경우였는데, 조합에서는 순서를 고려하지 않으므로 같은 경우입니다. 이렇게 택하는 경우의 수를 조합의 수라고 합니다.  

 

용어	설명	예시
n개에서 r개를 택하는 조합	서로 다른 n개 중에서 순서에 상관 없이 r개를 선택하는 것	a,b,c 에서 2개를 택하는 조합
조합의 수	조합의 경우의 수	3가지

 

조금 더 복잡한 예시를 통해 조합의 수를 계산해보고 나서 일반화합시다. 

알파벳 a,b,c,d,e 가 있습니다. 이 문자들 중에서 순서에 상관 없이 3개를 택하는 경우의 수를 구해봅시다. 

우리는 이미 순열을 배운 상태이기 때문에 순열을 이용해봅시다. 위 알파벳 5개 중 3개를 택하여 순서가 있게 나열하는 경우는 아래와 같습니다. 

$_{5}P_{3}=\frac{5!}{(5-3)!}$

다섯 알파벳 중 a,b,c가 선택되는 순열을 생각해봅시다. 순열에서는 아래 여섯가지 경우가 모두 다른 경우로 계산됩니다.

abc
acb
bac
bca
cab
cba

하지만 조합에서는 위 여섯가지가 모두 같은 경우입니다. $_{5}P_{3}=\frac{5!}{(5-3)!}$ 이라는 순열은 조합보다 6배 만큼 더 크다고 할 수 있습니다. 여기서 6은 뽑은 세개의 숫자를 나열하는 3!입니다. 조합은 위에서 구한 순열을 3!로 나눠주면 됩니다. 

5개중 3개를 택하는 조합의 수 = $\frac{_{5}P_{3}}{3!}=\frac{5!}{(5-3)!3!}$

n과 r로 일반화시켜봅시다. 

n개중 r개를 택하는 조합의 수 = $\frac{_{n}P_{r}}{r!}=\frac{n!}{(n-r)!r!}$

n개중 r개를 택하는 조합의 수를 간단히 나타내기 위해 기호를 정했습니다. $_{n}C_{r}$ 입니다. 조합이 영어로 conbination 이라서 첫 글자를 딴 것입니다. 기호를 사용하여 나타내면 아래와 같습니다.  

$_{n}C_{r}=\frac{n!}{(n-r)!r!}$

 

 

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