[확률과통계 기초] 1-5. 순열이란 무엇인가

순열은 '순서가 있는 나열'입니다. 순열이라는 두글자만 사용하는 경우는 드물고, 아래와 같이 사용합니다. 

 

'n개에서 r개를 택하는 순열' 

 

풀어서 설명하면 이렇습니다.

 

'서로 다른 n개 중에서 r개를 뽑아서 순서가 있게 나열하는 것'

 

예를 들면 a,b,c 세개의 알파벳 중에서 2개를 택하는 순열은 아래와 같습니다. 

 

ab

bc

ac

ca

bc

cb

 

이떄, 나열하는 개수를 '순열의 수'라고 합니다. 3개 중에서 2개를 택하는 순열의 수는 6가지인 것입니다. 

 

좀 헷갈리죠. 정리해봅시다. 

 

용어	의미	예시
순열	순서가 있는 나열
n개에서 r개를 택하는 순열	n개에서 r개를 뽑아서 순서가 있게 나열	a,b,c 에서 2개를 택하는 순열
순열의 수	순서가 있게 나열하는 경우의 수	6가지

 

조금 더 복잡한 예시를 통해 순열의 수를 계산해보고 나서 일반화합시다. 알파벳 a,b,c,d,e 가 있습니다. 이 문자들 중 2개를 택하여 일렬로 나열해봅시다. 숫자가 커지니 직접 세는 것은 쉽지가 않습니다. 직접 세는 것이 아닌 다른 방법을 이용해봅시다.  

 

아래와 같이 자리 두개가 있습니다. 

 

O O

 

a,b,c,d,e 중에서 두개를 택하여 순서가 있게 나열하는 순열의 수는, a,b,c,d,e 중 두 개를 뽑아서 위 두 자리에 순서가 있게 놓는 것과 같습니다.

 

첫째 자리에는 5개 문자가 모두 올 수 있습니다. 두번째 자리에는 첫번째 자리에 놓은 문자를 제외한 4개의 문자를 놓을 수 있습니다. 따라서 경우의 수는 아래와 같습니다. 

 

$5 \times 4 $

 

위 설명이 이해가 안되시면 수형도를 그리면 됩니다. 수형도는 아래와 같습니다. 

 

 

수형도를 통해 구한 경우의 수도 $5 \times 4 $ 입니다. 

 

위 예시를 일반화시켜봅시다. 

 

서로 다른 n개의 무언가가 있다고 합시다. n개의 무언가 중에서 r개를 뽑아서 순서가 있게 나열하는 경우의 수를 구해봅시다. r개의 자리가 있습니다. 

 

OOO....OOO (r개)

 

첫번 째 자리부터 채워봅시다. 

 

첫번째 자리 : n개

두번째 자리 : n-1개

세번째 자리 : n-2개

...

r번째 자리 : n-(r-1)개

 

입니다. 경우의 수를 계산하면 아래와 같습니다. 

 

$n \times (n-1) \times (n-2) \cdots (n-r+1)$

 

n개 중 r개를 택하는 순열의 수는 기호 $_nP_{r}$ 로 나타냅니다. 순열이 영어로 permutation 인데, 앞글자 p를 사용한 것입니다. 

 

$_nP_{r}=n \times (n-1) \times (n-2) \cdots (n-r+1)$

 

위 식을 팩토리얼 형태로 바꿔봅시다. 팩토리얼 형태로 바꾸는 이유는 식이 간결해지고 계산이 편리해지기 때문입니다. 

 

 위 식의 우변은 몇개의 인수가 곱해져 있을까요? r개입니다. r개의 자리를 만들고 배열한 것을 떠올리시면 됩니다. n부터 1씩 줄어들면서 r개가 곱해진 것입니다. 위 식 우변 분자와 분모에 (n-r)! 을 곱해봅시다. 

 

$_nP_{r}=\frac{n \times (n-1) \times (n-2) \cdots (n-r+1)(n-r)!}{(n-r)!}$

 

분자는 n! 과 같습니다. 따라서 아래와 같이 변형됩니다. 

 

$_nP_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}$

 

 

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