[확률과통계 기초] 1-7. 조합의 성질 (1) $_{n}C_{r}=_{n}C_{n-r}$ 직관적이해와 증명

n개 중에서 r개를 뽑는 조합은 아래와 같이 계산됩니다. 

 

$_{n}C_{r}=\frac{n!}{ (n-r)!r!}$

 

오늘은 조합의 대표적인 성질 두 가지를 알아봅시다. 이런저런 유도 과정에서 자주 사용되므로, 익숙해 지는 것이 좋습니다. 

1) $_{n}C_{r}=_{n}C_{n-r}$
2) $_{n}C_{r}=_{n-1}C_{r}+_{n-1}C_{r-1}$

오늘은 첫번째 성질을 알아봅시다. n개 중에 r개를 뽑는 것과, n개 중에 n-r개를 뽑는 것이 같다는 성질입니다. 숫자를 넣어보면 아래와 같습니다. 

$_{5}C_{3}=_{5}C_{2}$

다섯개 중에 3개를 뽑는 경우의 수와, 5개 중에 2개를 뽑는 경우의 수가 같습니다. 수학적으로 증명하기 전에 직관적으로 이해해봅시다. ABCDE 중에 3개를 뽑는 경우를 생각해 봅시다. 

ABC
ABD
ABE
...

뽑고 남은 문자를 괄호 안에 적어봅시다. 

ABC (DE)
ABD (CE)
ABE (CD)
...

5개 중 3개를 뽑으면 2개가 남겨집니다. 따라서 5개 중 3개를 뽑는 경우의 수와, 5개 중 2개를 남기는 경우의 수가 같습니다. 2개를 남기는 것과 2개를 뽑는 것은 같은 행위입니다. 

이번에는 수학적으로 증명해봅시다. 

$_{n}C_{n-r}$은 아래와 같이 계산됩니다. 

$_{n}C_{n-r}=\frac{n!}{  \left \{ n-(n-r) \right \}!(n-r)!}$

우변 분모의 첫번째 인수를 아래와 같이 계산합니다. $n-(n-r)$ 의 괄호를 풀어 계산하면 $r$ 입니다. 

$_{n}C_{n-r}=\frac{n!}{ (n-r)!  r !}$

우변은 $_{n}C_{r}$ 입니다. 

$_{n}C_{n-r}=_{n}C_{r}$

조합의 첫번째 성질이 증명되었습니다. 

 

 

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