[확률과통계 기초] 1-9. 이항정리 원리 이해하기

이항정리는 조합을 배우고 나서 바로 등장합니다. 이항정리에 조합이 사용되기 때문입니다. 

'이항'이라고 하면 '항을 옮긴다'는 뜻에 더 익숙하실 겁니다. 이항정리에서 이항은 항을 옮긴다는 뜻이 아니라 '두개의 항'이라는 뜻입니다. 

이항정리는 두개의 항으로된 식을 거듭제곱한 식을 전개하는 방법입니다. 가장 간단한 형태는 아래와 같습니다. 

$(a+b)^{n}$

결론부터 말씀드리면 아래와 같이 전개할 수 있습니다. 

$(a+b)^{n}=_{n}C_{n} \ a^{n}+_{n}C_{n-1} \ a^{n-1} b+_{n}C_{n-2} \ a^{n-2} b^{2}+\cdots+_{n}C_{1} \ a b^{n-1}+_{n}C_{0} \ b^{n}$

원리를 알아봅시다. 작은 숫자부터 시작하겠습니다. n에 2를 넣어봅시다. 

$(a+b)^{2}$

쉽게 전개할 수 있습니다. 전개한 후 간단히 하면 아래와 같습니다. 

$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$

이번에는 n에 3을 넣어봅시다. 

$(a+b)^{3}$

전개해봅시다. 번거롭긴 해도 할만합니다. 전개하고 정리하면 아래와 같습니다. 

$(a+b)^{3}=a^{3}+3ab^{2}+3a^{2}b+b^{3}$

n에 4를 넣어봅시다. 

$(a+b)^{4}$

불가능하지는 않지만 전개하고 싶지가 않습니다. 이항정리의 원리를 이용해봅시다. 아래와 같이 지수로 된 식을 곱셈으로 나타내봅시다. 

$(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)$

전개해서 나오는 항의 종류를 생각해봅시다. 아래와 같은 항들이 있다는 것은 쉽게 생각할 수 있습니다. 

$a^{4}$
$a^{3}b$
$a^{2}b^{2}$
$ab^{3}$
$b^{4}$

각 항의 계수만 구하면 되는데요. 항이 만들어지는 과정을 생각해봅시다. 아래 식의 각 인수에서 a 또는 b가 뽑히고 곱해집니다. 

$(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)$

$a^{4}$ 는 모든 인수에서 a가 뽑힌 것이고, $a^{3}b$ 는 a가 3개 b가 1개 뽑힌 것입니다. $a^{3}b$의 계수를 구해봅시다. $a^{3}b$가 나오려면, 각 항에서 아래와 같이 뽑으면 됩니다. 

aaab
aaba
abaa
baaa
 
4가지 경우입니다.  전개했을 때 $a^{3}b$가 4개 생기는 것이므로,  $a^{3}b$의 계수는 4가 됩니다. 

 

이번에는 4라는 계수를 조합으로 나타내봅시다. a입장에서 생각해보면 네 자리 중에서 a가 올 세 자리를 택하는 조합의 수 입니다. 따라서 $_{4}C_{3}$ 이 됩니다. 같은 상황을 b입장에서 생각해보면 네 자리 중에서 b가 올 한 자리를 택하는 것이므로 $_{4}C_{1}$ 입니다. 두 값은 같습니다. 

 

이 원리를 이용하여 계수를 모두 구하면 아래와 같습니다. a 입장에서 구해보았습니다. 

$_{4}C_{4} \ a^{4}$
$_{4}C_{3} \ a^{3}b$
$_{4}C_{2} \ a^{2}b^{2}$
$_{4}C_{1} \ ab^{3}$
$_{4}C_{0} \ b^{4}$

 

일반화하면 아래와 같습니다. 

$(a+b)^{n}=_{n}C_{n} \ a^{n}+_{n}C_{n-1} \ a^{n-1} b+_{n}C_{n-2} \ a^{n-2} b^{2}+\cdots+_{n}C_{1} \ a b^{n-1}+_{n}C_{0} \ b^{n}$

 

 

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