[확률과 통계 기초] 3-17. 이항분포의 기댓값

지난시간에 살펴본 이항분포 예시를 다시 가져와봅시다. 

 

어떤 농구선수가 있고 자유투 성공률이 70% 라고 합시다. 이 농구선수가 자유투를 5번 던져서 성공한 횟수를 X라고 놓겠습니다. X의 확률분포가 이항분포를 따릅니다. X의 확률분포를 구해보면 아래와 같습니다. 

 

$p(x)=_5C_x \ (0.7)^x(0.3)^{5-x}$

 

여기서 한가지 질문을 던질 수 있습니다. 이 농구선수가 자유투를 5번 던졌을 때 자유투가 몇번정도 들어갈 것이라고 기대할 수 있을 것인가? 라는 질문입니다. 

 

이 질문에 답하기 위해 조금 더 간단한 상황을 가정해보겠습니다. 우리가 동전을 하나 던져서 앞면이 나오면 100원을, 뒷면이 나오면 500원을 받는 게임을 한다고 해봅시다. 동전을 하나 던질 때 얼마를 받을 것으로 기대할 수 있을까요? 

 

앞면이 나올 확률이 50% 이고, 뒷면이 나올 확률도 50% 입니다. 따라서 100원을 받을 확률이 50% 이고 500을 받을 확률도 50%입니다. 

 

각 경우에서 받을 수 있는 기대 금액을 계산해 봅시다. 

 

O 100원을 받을 확률이 50% 이므로 기대 금액은 $100\times 0.5=50$원 입니다. 

 

O 500원을 받을 확률이 50% 이므로 기대 금액은 $500\times 0.5=250$원 입니다. 

 

따라서 우리가 기대할 수 있는 총 금액은 50+250=300원 입니다. 

 

수식을 이용하여 나타내면 아래와 같습니다. 

 

$100\times 0.5+500\times 0.5=300$

 

이제 이 개념 확률변수로 일반화한 뒤에 농구선수 예시에 적용하겠습니다. 동전 예시에서 확률변수가 될 수 있는 값은 100과 500이고, 각각의 확률은 0.5 입니다. 우리가 기대할 수 있는 금액은 각 확률변수가 될수 있는 값과 확률을 곱하여 더한 것입니다. 

 

만약 확률 변수가 될 수 있는 값이 $x_{1}$, $x_{2}$ 이고 각각의 확률이 $p_{1}$, $p_{2}$ 라면 기대할 수 있는 값은 아래와 같이 계산됩니다. 

 

기대할 수 있는 값 = $x_{1}\times p_{1}+x_{2}\times p_{2}$

 

위에서 기대할 수 있는 값이라고 부르던 것을 줄여서 ‘기댓값’이라고 부르겠습니다. 

 

농구선수 예시에 적용해봅시다. 농구선수 예시에서 확률변수가 될 수 있는 값과 확률은 아래 표와 같았습니다. 

 

 

이 확률변수의 기댓값은 아래와 같이 계산됩니다. 

 

$_{5}C_{0}\times(0.7)^0\times(0.3)^5+_{5}C_{1}\times(0.7)^1\times(0.3)^4 \\+_{5}C_{2}\times(0.7)^2\times(0.3)^3+_{5}C_{3}\times(0.7)^3\times(0.3)^2 \\+_{5}C_{4}\times(0.7)^4\times(0.3)^1+_{5}C_{5}\times(0.7)^5\times(0.3)^0=3.5$

 

https://www.youtube.com/watch?v=1ELEp0jLC5Y&ab_channel=%ED%86%B5%EA%B3%84%EC%9D%98%EB%B3%B8%EC%A7%88EOStatistics