[확률과통계 기초] 3-13. 이항분포 배우기 전에 베르누이분포 먼저

우리는 지난시간에 이항분포에서 '이항'이 어떤 의미인지 배웠습니다. 이항은 두개의 항이라는 뜻입니다. 이항분포가 무엇인지 배울 차례인데요. 그 전에 베르누이분포를 먼저 배우겠습니다. 이유는 다음 강의에서 알게되실겁니다. 

시행과 사건 기억하시나요? 세번째 시간에 배웠던 시행, 표본공간, 사건의 정의를 가져옵시다. 

시행 : 무한히 반복될 수 있고, 잘 정의된 결과 집합을 갖는 행위 
표본공간 : 어떤 시행에서 발생할 수 있는 모든 결과를 모아놓은 집합 
사건 : 어떤 시행의 결과들의 집합. 확률이 할당되어 있음. 표본공간의 부분집합. 

시행,표본공간,사건을 쉽게 기억하는 방법은 주사위 던지기 예시로 기억하는 것입니다. 시행은 주사위던지기이고, 표본공간은 1부터6 까지의 집합이고, 사건은 짝수의 눈이 나오는 사건이나 홀수의 눈이 나오는 사건 등 표본공간의 부분집합입니다. 

어떤 시행을 생각해봅시다. 시행의 횟수가 1회이고 시행의 결과가 오직 두가지인 시행입니다. 몇가지 예를 들면 아래와 같습니다. 

- 동전 던지기
- 빨간 공과 검정 공이 들어 있는 상자에서 공 꺼내기
- 주사위를 던져서 숫자 2가 나오는지 보기
- 이메일을 열어서 스펨인지 아닌지 보기

이러한 시행을 성공과 실패의 관점으로 해석해봅시다. 

- 동전 던지기에서 앞면이 나오면 성공 아니면 실패
- 빨간 공과 검정 공이 들어 있는 상자에서 빨간 공이 나오면 성공 아니면 실패
- 주사위를 던져서 숫자 2가 나오면 성공 아니면 실패
- 이메일을 열어서 스펨이 아니면 성공 스펨이면 실패

성공을 1 실패를 0에 대응시키면 확률 분포를 만들 수가 있습니다. 아래와 같은 확률분포입니다. 아래는 동전 던지기 예시입니다. 

$p(x)=\left\{\begin{matrix}
0.5 & x=1 \\ 
0.5 & x=0
\end{matrix}\right.$

확률변수 X는 0과 1의 값을 갖는 확률변수입니다. 만약 빨간공 7개, 검정공 3개가 들어 있는 상자에서 공 하나를 꺼낼 때 빨간 공을 성공이라고 한다면 아래와 같은 확률분포가 됩니다. 

$p(x)=\left\{\begin{matrix}
0.7 & x=1 \\ 
0.3 & x=0
\end{matrix}\right.$

일반화시켜봅시다. 어떤 시행의 결과가 둘 뿐이고 성공을 1, 실패를 0으로 놓겠습니다. 확률변수 X는 0과 1을 갖는다고 합시다. 성공 확률이 p라면 확률분포는 아래와 같이 정의됩니다. 

$p(x)=\left\{\begin{matrix}
p & x=1 \\ 
1-p & x=0
\end{matrix}\right.$

이러한 확률분포를 베르누이분포라고 부릅니다. 베르누이 분포가 확장되어 이항분포가 됩니다. 다음 시간에 베르누이분포가 어떻게 이항분포로 확장되는지 알아봅시다.