[확률과통계 기초] 3-15. 이항분포 수식 자세한 설명

이항분포는 베르누이 시행을 n번 반복했을 때 성공이 나온 횟수인 x를 확률변수로 하는 분포라는 것을 지난시간에 배웠습니다. 이항분포의 확률분포함수도 아래와 같다는 것을 배웠습니다. 

$p(x)=_nC_x \ p^x(1-p)^{n-x}$

위 식의 유도과정을 자세히 다루지는 않았는데요. 어떻게 위 식이 유도된건지 이해하지 못한 분들이 계실 수도 있어서 이번 시간에 자세히 설명하겠습니다. 

 

1. 예시

아주 간단한 예시를 이용해서 위 식을 이해해봅시다. 주사위 던지기 예시입니다. 주사위를 한번 던져서 3이 나오는 사건을 '성공' 나머지를 '실패'라고 두겠습니다. 주사위를 한번 던지는 시행에서 성공할 확률과 실패할 확률은 아래와 같습니다. 

성공확률 = $\frac{1}{6}$
실패확률 = $\frac{5}{6}$

주사위 던지기 시행을 5번 했다고 합시다. 이때 성공은 0번부터 5번까지 나올 수 있습니다. 성공 횟수를 X라고 놓겠습니다. X는 0부처 5까지의 값을 가질 수 있습니다. 각각의 확률을 구해봅시다. 

1) 성공이 0번 나올 확률

실패가 5번 나오면 됩니다. 확률은 아래와 같습니다. 

$P[X=0]=\frac{5}{6}\times\frac{5}{6}\times\frac{5}{6}\times\frac{5}{6}\times\frac{5}{6}$

2) 성공이 1번 나올 확률

주사위를 다섯번 던져서 성공이 1번 나오는 경우는 아래와 같이 다섯가지가 있습니다. 

성공 실패 실패 실패 실패
실패 성공 실패 실패 실패
실패 실패 성공 실패 실패
실패 실패 실패 성공 실패
실패 실패 실패 실패 성공

각각의 확률은 아래와 같습니다. 

$\frac{1}{6}\times\frac{5}{6}\times\frac{5}{6}\times\frac{5}{6}\times\frac{5}{6}$

$\frac{5}{6}\times\frac{1}{6}\times\frac{5}{6}\times\frac{5}{6}\times\frac{5}{6}$

$\frac{5}{6}\times\frac{5}{6}\times\frac{1}{6}\times\frac{5}{6}\times\frac{5}{6}$

$\frac{5}{6}\times\frac{5}{6}\times\frac{5}{6}\times\frac{1}{6}\times\frac{5}{6}$

$\frac{5}{6}\times\frac{5}{6}\times\frac{5}{6}\times\frac{5}{6}\times\frac{1}{6}$

곱셈의 순서만 다르지 같은 확률입니다. 위 확률을 전부 더해주면 주사위를 다섯번 던져서 성공이 1번 나오는 확률이 됩니다. 

$P[X=1]=5\times\left ( \frac{1}{6}\times\frac{5}{6}\times\frac{5}{6}\times\frac{5}{6}\times\frac{5}{6} \right )$

아래와 같이 변형합시다. 

$P[X=1]=5\times\frac{1}{6}\times\left ( \frac{5}{6} \right )^4$

주사위를 다섯번 던져서 성공이 1번 나오는 경우가 다섯가지여서 앞에 5가 곱해지게 되었습니다. 5는 다섯개의 자리 중에서 하나는 성공 나머지는 실패로 채우는 경우의 수 입니다. 조합으로 표현하면 아래와 같습니다. 

$_nC_1$

조합 기호를 이용하여 우리가 구한 확률식을 변형하면 아래와 같습니다. 

$P[X=1]=_{5}C_{1}\times\frac{1}{6}\times\left ( \frac{5}{6} \right )^4$

3) 성공이 2번 나올 확률

주사위를 다섯번 던져서 성공이 2번 나오는 경우는 아래와 같이 열가지가 있습니다. 

성공 성공 실패 실패 실패
성공 실패 성공 실패 실패
성공 실패 실패 성공 실패
성공 실패 실패 실패 성공
실패 성공 성공 실패 실패
실패 성공 실패 성공 실패
실패 성공 실패 실패 성공
실패 실패 성공 성공 실패
실패 실패 성공 실패 성공
실패 실패 실패 성공 성공

10가지 경우입니다. 조합의 관점으로 생각해봅시다. 5자리 중에서 성공이 들어갈 자리 2자리를 뽑으면 되므로 $_{5}C_{2}$입니다. 

각각의 확률은 성공 두번 실패 세번이므로 아래와 같습니다. 

$\left ( \frac{1}{6} \right )^2\times\left ( \frac{5}{6} \right )^3$

이런 확률이 10개, 즉 $_{5}C_{2}$개 있는 것입니다. 따라서 성공이 2번 나올 확률은 아래와 같습니다. 

$P[X=2]=_{5}C_{2}\times\left ( \frac{1}{6} \right )^2\times\left ( \frac{5}{6} \right )^3$

4) 성공이 3번 나올 확률

주사위를 다섯번 던져서 성공이3번 나오는 경우는 이제 바로 구해보겠습니다. 5자리 중에서 성공이 3자리 이므로 경우의 수는 $_{5}C_{3}$입니다. 각각의 확률은 성공 세번 실패 두번이므로 아래와 같습니다. 

$\left ( \frac{1}{6} \right )^3\times\left ( \frac{5}{6} \right )^2$

따라서 성공이 3번 나올 확률은 아래와 같습니다. 

$P[X=3]=_{5}C_{3}\times\left ( \frac{1}{6} \right )^3\times\left ( \frac{5}{6} \right )^2$

성공이 4번나올 확률과 5번 나올 확률도 같은 방법으로 구하면 아래와 같습니다. 

$P[X=4]=_{5}C_{4}\times\left ( \frac{1}{6} \right )^4\times\left ( \frac{5}{6} \right )^1$

$P[X=5]=_{5}C_{5}\times\left ( \frac{1}{6} \right )^5$

4) 성공이 x번 나올 확률

성공이 x번 나올 확률을 구해봅시다. 5자리 중에서 성공이 들어갈 자리 x자리를 뽑으면 되므로 경우의 수는 $_{5}C_{x}$입니다. 

각각의 확률은 성공 x번, 실패 5-x번 이므로 아래와 같습니다. 

$\left ( \frac{1}{6} \right )^x\times\left ( \frac{5}{6} \right )^{5-x}$

따라서 주사위를 5번 던졌을 때 성공이 x번 나올 확률은 아래와 같습니다. 

$P[X=x]=_{5}C_{x}\times\left ( \frac{1}{6} \right )^x\times\left ( \frac{5}{6} \right )^{5-x}$

 

2. 일반화

성공확률이 p인 베르누이 시행이 있다고 합시다. 이 시행을 n번 반복했을 때 성공이 x번 나올 확률을 구해봅시다. 아마 이제 잘 구할 수 있을겁니다. 

시행을 n번 반복했을 때 성공이 x번 나올 경우의 수를 먼저 구합니다. n개의 자리 중에서 성공이 들어갈 자리 x개를 뽑으면 됩니다. 

$_{n}C_{x}$

각각의 확률은 아래와 같습니다 .

$p^x\times(1-p)^{n-x}$\

따라서 이 시행을 n번 반복했을 때 성공이 x번 나올 확률은 아래와 같습니다. 

$P[X=x]=_{n}C_{x}\times p^x\times(1-p)^{n-x}f$